Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

18.11. Сосуд, содержащий p%−й раствор кислоты, долили доверху q%−м раствором кислоты и после перемешивания отлили то же количество. Проделав эту операцию k раз, получили r%−й раствор. Какую часть объема сосуда занимал первоначальный раствор[13]?

18.12. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Одновременно из B навстречу ему выехал мотоцикл. Через некоторое время они встретились. В момент их встречи из B в A выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно 2/9AB. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился бы с первым мотоциклом через 3 ч после их выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно 60 км. Найдите AB, если скорости обоих мотоциклов одинаковы.

18.13. Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет А p., и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на τ ч раньше, истратив при этом на В p. меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси v1 км/ч, автобуса v2 км/ч (v1 > v2), а стоимость проезда 1 км на такси а p.?

18.14. Товарный поезд, шедший из А в В, прибыл в С одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со скоростью в m раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли t ч в пункте С, затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в В на t1 ч позже, а пассажирский в А на t2 ч позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из А, чем пассажирский из В?

18.15. Расстояние между пунктами А и В равно s км. Из пункта А в пункт В вылетел вертолет, а через t ч в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в d км от А, долетел до В и сразу повернул обратно. В d км от В самолет встретил вертолет и вернулся в А позднее, чем вертолет прибыл в В. Насколько раньше вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся в А?

18.16. В озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта M на первой реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта N. Придя в N, пароход отправляется в обратный путь.

Известна собственная скорость парохода v и скорости течения рек: v1 и v2. На путь от M до N, равный по длине s, и на обратный путь пароход тратит одинаковое время t. Какое расстояние пароход проходит по озеру?

18.17. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость курьерского в два раза больше скорости пассажирского. Скорый поезд прибывает в В в 13 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Когда пассажирский поезд прибудет в пункт А, если между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа?

18.18. Завод должен получить 1100 деталей. На базе имеются комплекты по 70, 40 и 25 деталей. Стоимость пересылки одного комплекта равна соответственно 20, 10 и 7 p. Какие комплекты и в каком количестве следует заводу заказать, чтобы расходы по пересылке были наименьшими? Переупаковка комплектов на базе не допускается.

Глава 19

Последовательности и прогрессии

Рассмотрим функцию натурального аргумента аn = f(n), где либо n = 1, 2, 3, ..., k, либо n = 1, 2, 3, ..., k, ... . Если при любых натуральных i и j, таких, что i < j, значение аj считается последующим по отношению к аi, то множество значений аn этой функции образует последовательность.

Последовательность обозначают, записывая ее члены аn один за другим в порядке возрастания номера n: а1, a2, а3, ... .

Если номер n принимает значения n = 1, 2, 3, ..., k, то последовательность называется конечной. Если же n = 1, 2, 3, ... (т. е. n пробегает все натуральные числа), то последовательность называется бесконечной.

аn = f(n) называется общим членом последовательности. Если для любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство аi < аj, то последовательность называется возрастающей. Если при тех же условиях будет аi > аj, то последовательность называется убывающей. Если же при любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство аi ≤ аj (аi ≥ аj), то последовательность называется неубывающей (невозрастающей).

Последовательность, в которой

аi + 1 = аi + d

при всех натуральных i, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Имеют место формулы:

2аn = аn + 1 + аn − 1;     аn = а1 + d(n − 1);

где Sn — сумма n первых членов прогрессии.

Последовательность, в которой

ai + 1 = qai

при всех натуральных i, причем q ≠ 0 и ai ≠ 0, называется геометрической прогрессией, а число q называется ее знаменателем.

Для геометрической прогрессии имеют место формулы:

an = a1qn − 1;    a²n = an − 1an + 1.

Вторая формула верна, если q ≠ 1. Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1, называется бесконечно убывающей.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a1 = −1, q = ½ , а может быть колеблющейся: a1 = 1, q = −½ .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм Sn, т. е. существует , то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности  Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены ap, aq, ar, as арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p − q, q − r, r − s является геометрической прогрессией.

19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то

ab − сbс − aсa − b = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x ≠ 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.