Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2 f(x) f(x − 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.

6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием

будет наименьшим.

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

1. Найдите положительный тангенс угла между касательными к гиперболе xy = 1 в точках с абсциссами х1 = 1, х2 = 2.

2. Найдите (в радианах) все решения уравнения

tg³ x² + tg² x² + ctg² x² + ctg³ x² − 4 = 0.

3. Найдите наименьшее значение выражения

x² + y² + 2/|x|·|y|.

4. Вычислите, если x < 0:

5. Вектор , коллинеарный вектору {12; −16; −15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что  = 100, найдите его первую координату.

6. Решите уравнение

log1 + 2x (6x² + 5x + 1) − log1 + 3x (4x² + 4x + 1) = 2.

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

9 · 16−1/x + 5 · 36−1/x < 4 · 81−1/x.

8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?

9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.

10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.

Примечания

1

Эту задачу нужно решать с особым вниманием.

2

Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.

3

Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).

4

Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно.

5

Под применением тождества мы понимаем замену его левой части на правую.

6

Два совпадающих решения считаются за одно.

7

Ответы к упражнениям 1—9 см. на с. 360.

8

Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.

9

Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).

10

Требуется найти не только положительные значения x.

11

 Требуется найти не только положительные значения x.

12

1 карат = 0,2 г.

13

Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов.

14

Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.

15

Так в тексте. От верстальщика fb2.

16

[x] — целая часть числа x.

17

Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0.

20

Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем

(3√x − 2)(x + 1)(x − 3/2) >0.

Первый множитель обращается в нуль при  причем он больше нуля при  и меньше нуля при  Нанесем точки −1,  и 3/2 на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при x > 3/2 все три скобки положительны. Так как, кроме того, x ≥ 0, окончательно получим

21

Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом самостоятельно.

22

Формулы для  и т. п. доказываются аналогично с помощью тождеств: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1, (x + 1)4 = x4 + 4x³ + 6x² + 4x + 1.

23

Во всех случаях удобно граничную точку относить к обоим интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда наименьшее значение не достигается.