Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

π³/8 − 3π³/32 = π³/32.

Наименьшее значение произведения αβ, где β ≥ 0, достигается при условии, что α < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины α и β были наибольшими. При x = −1 будет α = −π/2, β = π. Именно в этой точке произведение αβ достигает минимума, так как α принимает минимальное, а β — максимальное из возможных значений. Итак, при x = −1 исходная функция имеет наибольшее значение

π³/8 + 3π/2 π/2 π = 7π³/8.

Ответ. π³/32, 7π³/8.

24.14. Сделаем следующие преобразования:

y = 2 sin² x + 2 cos² x + 4(2 cos² x) − 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) − 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x − 3 sin 2x = 6 + 5(4/5 cos 2x − 3/5 sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin φ cos 2x − cos φ sin 2x) = 6 + 5 sin(φ − 2x).

Поскольку min sin (φ − 2x) = −1, то min y = 6 − 5 = 1.

Ответ. 1.

24.15. Преобразуем данную систему к виду

или

Введем новые переменные:

x + 1/5 = s, y + 2/5 = t, z/12 = v, w − 1/12 = u.    (4)

Тогда система примет вид

и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти

min (y + w) = min (5t + 12u − 1).   (8)

Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:

s = sin α, t = cos α; v = sin β, u = cos β.

Тогда для левой части (7) получим

sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1.    (9)

Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим

sin (α + β) = 1, т. е. α + β = π/2 + 2πk,    (10)

или

sin α = cos β, cos α = sin β,    (11)

s = u, t = v.    (12)

Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид

u² + t² = 1.    (13)

Нам нужно найти min (5t + 12u − 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin α, t = cos α. Тогда st − 12u − 1 = 13(5/13 − cos α − 12/13 sin³ α) − 1 = 13 cos (α + φ) − 1, где cos φ = 5/13, sin φ = 12/13. Поэтому min (5t − 12u − 1) = −14.

Ответ. −14.

Образцы вариантов экзаменационных билетов

Московский государственный авиационный институт (технический университет) (МАИ)

1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Решите уравнение

cos 2x = 2 − 2√3 cos x sin x.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м², а радиус окружности, описанной около основания, 10/3 √3 м.

4. Решите систему уравнений

5. Решите неравенство

8(−2x + 3x)(−2x − 1 + 3x)(−2x + 3x + 1)(−2x − 2 + 3x) + 81x ≤ 0.

6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.

Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет) (МИФИ)

1. Решите уравнение

|−sin x| = 2 cos x.

2. Решите неравенство

(9x² − 9x + 2) log2 3x ≥ 0.

3. Разность цифр двузначного натурального числа A равна 4, а сумма квадратов цифр этого числа больше произведения его цифр на 37. Найдите число A.

4. Найдите сумму действительных корней уравнения

x² + 2(с² + 2с)x + 4с³ − 2с² + 40 = 0

и укажите, при каких с ∈ R эта сумма принимает наибольшее значение.

5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник АВС, y которого ВС = 1, СА = 13, а высота СЕ = √105. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью АВС угол величиной α. Определите площадь основания и объем пирамиды.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) (МИЭМ)

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

|6 cos x − 1| = 4 cos 2x + 3.

3. Решите неравенство

log2 (3x − 5) + log¼ (2x − 1) < 1.

4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.

5. При а = 1 решите уравнение

(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0

и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; 5π/6].

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (МГТУ)

1. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние от пункта А до пункта В.

2. Найдите все корни уравнения

cos 2x + cos 6x = cos 4x,

принадлежащие промежутку [π/2; π].

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство 2x + 1 + 3 < 21 − x.

5. Какая наибольшая площадь может быть y прямоугольного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой M(5; 0), другая лежит на графике функции y = x³(5 − x), 0 ≤ x ≤ 5, а вершина прямого угла — на оси Ox?

6. Найдите все значения p, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

7. Основанием пирамиды ТАВС служит треугольник АВС с углом А, равным 60°. Боковое ребро ТА совпадает с высотой пирамиды и равно h; ребро ТС перпендикулярно стороне основания ВС, а угол между ребром ТВ и биссектрисой основания АD равен 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через биссектрису АD и пересекающую ребро ТВ?

Московский государственный университет

им. M. В. Ломоносова (МГУ) (экономический факультет)

1. Решите уравнение

3|x| = 5x² + 3x.

2. Решите систему неравенств

3. В треугольнике АВС со стороной AB = √5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 2√2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что ∠АВС + ∠ACВ < 90°.

4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.

5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 − |x − 1|. Решите уравнение