Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

ab − сbс − aсa − b = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x ≠ 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5. Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6. Докажите, что  где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7. При каких значениях x и у последовательность а1, а2, а3, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8. Пусть х1 и х2 — корни уравнения x² − 3х + А = 0, а х3 и х4 — корни уравнения x² − 12х + В = 0. Известно, что последовательность х1, х2, х3, x4 является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.

19.9. Решите уравнение

х³ − 7х² + 14х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен √2.

19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

19.12. Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

19.13. Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?

19.14. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

19.15. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.

19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a1, b1, a2, b2, ..., аn, bn, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что

и найдите предел этой последовательности.

19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению

cos [(8а − 3)x] = cos [(14а + 5)x]

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

Глава 20

Суммирование

При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n ≥ p (где p — целое) справедливо...»

Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.

Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.

Теорема 1. Утверждение А справедливо для n = p.

Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для всех p ≤ n ≤ k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.

Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n ≥ p (n, p и А — целые числа).

Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы индукции, называется методом математической индукции.

С помощью метода математической индукции можно доказать формулы

20.1. Докажите неравенство

20.2. В арифметической прогрессии а1, а2, ..., аn первый член равен разности прогрессии: а1 = d. Считая число n данным, найдите

20.3. Найдите сумму

20.4. Найдите зависимость между натуральными n и А, если

где а ≠ 0, 1, −1.

20.5. Найдите коэффициент при хn в разложении

(1 + x + 2х² + ... + пхn)².

20.6. Решите неравенство

|x − 2х² + 4х³ − 8х4 + ... + (−2)n − 1хn + ...| < 1.

20.7. Найдите сумму

Sn = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.

20.8. Найдите сумму

Sn = x + 4х³ + 7х5 + 10х7 + ... + (3n − 2)х2n − 1.

20.9. Найдите сумму

Sn4  = 14 + 24 + 34 + ... + n4,

считая известными формулы для Sn, Sn², Sn³ (см. с. 103).

20.10. Натуральные числа разбиты на группы

(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), ...

Найдите сумму чисел в n-й группе.

20.11. Вычислите выражение

20.12. Найдите сумму

1 + 2 · 2 + 3 · 2² + ... + 100 · 299.

20.13. Найдите сумму ряда

Глава 21

Соединения и бином

Эта глава содержит задачи по комбинаторике, а также задачи, связанные с возведением в степень двучлена ax + b. Выражение (ax + b) называют биномом Ньютона и рассматривают, как правило, его разложение в ряд по степеням x и коэффициенты этого разложения — они зависят от а и b — при различных степенях x.

Комбинаторика изучает всевозможные комбинации из элементов данного конечного множества. Простейшие из таких комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки состоят из одних и тех же элементов некоторого множества и отличаются одна от другой только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, обозначают P(n):

P(n) = 1 · 2 · 3 · ... · n = n! (1)

Символ n! (читается «эн факториал») обозначает произведение первых n чисел натурального ряда: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ... . По определению 0! = 1.

Следующий вид комбинаций — размещения из n различных элементов, образующих множество, в группы по k различных элементов в каждой. При этом два размещения считают разными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их расположения. Подобные ситуации возникают при размещении постояльцев в гостинице, зрителей в театральном зале, пассажиров в поезде. Число всех возможных размещений по k различных элементов в каждом размещении, формируемых из n различных элементов данного множества, обозначают Аnk. Имеет место формула:

Сочетания из n элементов по k элементов — комбинации, составленные из данных n элементов и содержащие по k (k ≤ n) элементов в каждой, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом. С — число сочетаний из n по k: