Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Сочетания из n элементов по k элементов — комбинации, составленные из данных n элементов и содержащие по k (k ≤ n) элементов в каждой, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом. С — число сочетаний из n по k:

Наряду с соединениями, в которые каждый из n различных элементов некоторого фиксированного множества входит один раз, можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие появление одного и того же элемента более одного раза.

Если задан алфавит из n различных букв и поставлена задача составить всевозможные слова по k букв в каждом, то речь идет о размещениях с повторениями. Обратите внимание на то обстоятельство, что слова могут быть любой длины, а потому нет необходимости в выполнении ограничения k ≤ n. Слова aba и baa считаются различными (входящие в них элементы образуют разные последовательности).

Число  всевозможных различных размещений с повторениями из n различных элементов по k элементов в каждом находится по формуле

Доказывается эта формула с помощью рекуррентного соотношения

которое устанавливается следующим рассуждением. Если первая буква в слове из k букв фиксирована, то в оставшиеся k − 1 ячеек можно разметить буквы  способами. Для каждого из этих способов остается n возможностей для выбора буквы, стоящей на первом месте. В результате мы получим все размещения с повторениями из n по k.

Размещения с повторениями, образованные из n элементов a1, a2, ..., аn так, что каждый из этих элементов входит в размещение по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями. Если известно, что элемент a1 входит α1 раз, элемент a2 входит α2 раз, ..., элемент an входит αn раз, то число всевозможных таких перестановок обозначают  и оно может быть найдено по формуле

Два сочетания с повторениями из n элементов по k в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле

вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k − 1.

Для любого натурального n справедливы разложения

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).

21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а1, а2, а3, а4, а5. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а1, а на втором — элемент, отличный от а2.

21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?

21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?

21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?

21.6. Вычислите сумму

21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)n являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения

(а + b + с + d)n.

21.9. Найдите коэффициент при хk в разложении

(1 + x + x² + ... + хn − 1)².

21.10. Для бинома (1/5x + 2/5)n найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.

21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении

(1 + x² + х5)20 = а0 + а1х + а2х² + ... + а100х100.

21.12. Дана последовательность а1, а2, а3, ..., а10. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?

21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?

Глава 22

Обратные тригонометрические функции

Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.

Если arcsin x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то sin α = x и −π/2 ≤ α ≤ π/2 .

Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ π/2 ; если x ≤ 0, то −π/2  ≤ α ≤ 0.

Если arccos x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то cos α = x и 0 ≤ α ≤ π.

Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ π/2; если x ≤ 0, то π/2 ≤ α ≤ π.

Если arctg x = α, то tg α = x и −π/2 < α < π/2.

Если x ≥ 0, то 0 ≤ α < π/2 ; если x ≤ 0, то −π/2 < α ≤ 0.

Если arctg x = α, то ctg α = x и 0 < α < π.

Если x ≥ 0, то 0 < α ≤ π/2; если x ≤ 0, то π/2 ≤ α < π.

Имеют место следующие соотношения[14]:

arcsin x + arccos x = π/2; arctg x + arcctg x = π/2;

arcsin (−x) = −arcsin x; arctg (−x) = −arctg x; arccos (−x) = π − arccos x; arcctg (−x) = π − arcctg x.

22.1. Докажите, что

2 arctg ¼ + arctg 7/23 = π/4.

22.2. Представьте выражение

arctg 7/9 + arcctg 8 + arcsin √2/4

в виде значения функции arcsin x.

22.3. Представьте выражение

arctg (−2) + arcsin ⅓ + arctg (−⅓)

в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.

22.4. Вычислите сумму

22.5. Найдите

arccos (sin π(x² + x − З)),

если

22.6. Докажите, что если 0 ≤ x ≤ 1, то

22.7. Докажите, что выражение arcsin  не зависит от x, если x < −1, и упростите его в этом случае.

Решите уравнения:

22.8. tg (З arcsin x) = 1.

22.9. arcsin 3x/5 + arcsin 4x/5 = arcsin x.

22.10. arcsin 2x + arcsin x = π/3.

22.11. arctg (2 + cos x) − arctg (2 cos² x/2) = π/4.

22.12.

22.13. arctg (x − 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.

Глава 23

Область определения. Периодичность 

Областью определения функции может быть вся числовая ось (у = x², у = sin x), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у = √x , граничная точка x = 0 принадлежит области определения x ≥ 0) и с не принадлежащей ему граничной точкой (у = lg x), совокупность интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) и отдельных точек.