Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой

Сколько интервалов на прямой у = 2 − x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?

17.10. При каких значениях параметра а уравнение

x² − (а + 3)x + 2а + 7 = 0

имеет 2 различных целых корня?

17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения

х4 − (1 − 2а)x² + а² − 1 = 0.

17.12. При каких значениях параметра а уравнение

2(2а − 1) sin 4х − (а + 3) cos 8х + 3а = 1

имеет ровно восемь решений на отрезке [−π, π]?

17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства

у = x² + 2(а − 1)x + 2(а − 1)² − 1,

где а — действительное число.

Глава 18

Задачи на составление уравнений

При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.

Разберем в качестве примера следующую задачу.

Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое

время к нему присоединился второй. Когда 1/6 работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.

Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда 1/6 работы (обратите внимание: 1/6 всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.

Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x, у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.

После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t1, t2, t3 — время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то

t1x = t2у = t3z = ⅓. (1)

Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t1x = ⅓, t2у = ⅓, t3z = ⅓. K ним нередко добавляют четвертое:

t1x + t2у + t2z = 1,

которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.

Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за 1/x + y ч, а третьему на это потребуется 1/z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:

1/x + y  + 9 = 1/z.     (2)

Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее 1/6 была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t1 − t3 ч, а второй t2 − t3 ч, они сделали 1/6 всей работы:

x(t1 − t3) + у(t2 − t3) = 1/6.    (3)

Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:

t2 − t3 = 2,      (4)

мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.

Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.

В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t2, которое нас не интересует. Однако после замены t2 − t3 на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t1x и t2у, что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt1 = ⅓ и уt2 = ⅓, то получим уравнение

t3(x + у) = ½.

С его помощью можно выразить x + у через t3, а из уравнения zt3 = ⅓ можно выразить через t3 и неизвестное z. Подставляя эти выражения в (2), получим

2t3 + 9 = 3t3,

откуда

t3 = 9.

Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t2 = 11, z = 1/27, у = 1/33. Из уравнения (2) определяем x = 5/198 и t1 = 1/3x = 66/5. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.

Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин x, у и z, имеющих прежний смысл, величину t, обозначающую время, в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы третьего рабочего. Это привело бы нас к системе:

t(x + у + z) = 5/6     (1′)

(за время t рабочие сделали вместе 5/6  всей работы),

tz = (t + 2)у = ⅓     (2′)

(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на это потребовалось на 2 ч больше),

1/x + y + 9 = 1/z     (3′)

(первый и второй рабочие выполняют всю работу на 9 ч быстрее, чем третий, работая один).

Поскольку tz = ⅓, то из (1′) найдем 

x + y = 1/2t. 

Вместе с z = 1/3t подставим в (3′). Получим

t = 9.

Как и прежде, найдем последовательно z, у и x. На вопрос задачи можно ответить, вспомнив, что первый рабочий работал столько, чтобы успеть сделать ⅓ всей работы, т. е. 1/3x.

Конечно, второе решение выглядит более изящно, чем первое. Однако признать его лучшим трудно, поскольку за те простые уравнения, от которых мы отказались, пришлось уплатить некоторым усложнением логики.

А теперь приведем арифметическое решение этой задачи — решение, в котором удается обойтись вообще без составления уравнений.

Так как рабочие совместно выполнили 1 − 1/6 = 5/6 всей работы, причем третий сделал ⅓, то на долю первого и второго осталось 5/6 − ⅓ = ½ всей работы. Следовательно, если бы первый и второй успели выполнить всю работу, то третий за то же самое время сделал бы ⅔; ему останется 1 − ⅔ = ⅓ , на что ему потребовалось бы в силу последнего условия задачи 9 ч.