Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.21. sin 4x = m tg x, где m > 0.

13.22. sin x/2 (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = ½ sin 101x/2.

13.23. sin² x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n²x = 1.

13.24. 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1.

13.25.

13.26. sin³ x + cos³ x = 1.

13.27. cos² 3x + ¼ cos² x = cos 3x cos4 x.

13.28. При каких значениях а уравнение

1 + sin² ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.

13.37.

13.38.

13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению

tg4 x + tg4 у + 2 ctg² x ctg² у = 3 + sin² (x + у).

13.40. Решите уравнение

sin² x + ¼ sin² 3x = sin x sin² 3x.

13.41. Решите уравнение

cos x + cos у − cos (x + у) = 3/2.

13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а  (где x ≠ π/2 + nπ, у ≠ π/2 + nπ, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.

13.43. Найдите все пары чисел x и у, которые удовлетворяют уравнению

13.44. Решите уравнение

sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.

13.45. Решите уравнение

sin x (cos x/4 − 2 sin x) + cos x (1 + sin x/4 − 2 cos x) = 0

13.46. Решите уравнение

13.47. Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:

cos 6х + cos 8х = 0,     cos Зх = 2 sin² 2х

при условии, что |x| < 5.

13.48. Решите уравнение

13.49. Решите уравнение

13.50. Решите уравнение

2 tg x + tg x/2 + 4 ctg 2х = ctg Зх.

13.51. Решите уравнение

Глава 14

Тригонометрические неравенства

Решите неравенства:

14.1. |sin x| > |cos x|.

14.2. 1 − sin x + cos x < 0.

14.3. sin x − З cos x < 0.

14.4. 2 cos 2х + sin 2х > tg x.

14.5. cos x tg 2х ≤ 0.

14.6. 6 + cos 2х + 13 cos x ≥ |5 − 2 cos 2х − 6 sin² x − З cos x|.

14.7. Найдите решения неравенства

sin 2х > √2 sin² x + (2 − √2) cos² x,

лежащие в интервале (0, 2π).

14.8. При каких значениях α, 0 ≤ α ≤ π, уравнение

2х² − 2(2 cos α − 1)x + 2 cos² α − 5 cos α + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решите неравенства:

14.9.

14.10.

14.11.

14.12. tg x tg 3x < −1.

14.13.

14.14. Найдите все значения x из интервала 0 < x < π, удовлетворяющие неравенству

14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство

4 sin 3α + 5 ≥ 4 cos 2α + 5 sin α.

14.16. Решите неравенство

a² sin² x ≤ sin² 3x,    а > 0.

14.17. При каких значениях x и у выражение

(2 cos t + ½ cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x − cos у + cos 2t

положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.

Глава 15

Трансцендентные неравенства

Решите неравенства:

15.1. (logsin x 2)² < logsin x (4 sin³ x).

15.2.

15.3. Найдите решения неравенства

log2 cos x > log2 tg x,

удовлетворяющие условию 0 ≤ x ≤ π.

Решите неравенства:

15.4. 4 log16 cos 2х + 2 log4 sin x + log2 cos x + 3 < 0.

15.5. log|cos x + √3 sin x|½ > 0, если 0 ≤ x ≤ 2π.

15.6. sin |lg x| + cos |lg x| > − 1/√2.

15.7.

15.8. arctg √x > arccos (1 − x).

15.9. (4х − x² − 3) log2 (cos² πх + 1) ≥ 1.

15.10.

Глава 16

Трансцендентные уравнения

16.1. Докажите, что уравнение

2 sin² x/2 sin² x/6 = 1/x² + x²

не имеет корней.

Решите уравнения:

16.2.

16.3. (tg x)sin x = (ctg x)cos x.

16.4. sin (2х − 1 + 2х − 2) cos (2х − 1 + 2х − 2) = ¼.

16.5. lg sin x + lg sin 5х = lg sec 4х.

16.6. lg² (sin x + 4) + 2 lg (sin x + 4) − 5/4 = 0.

16.7. logsin x (sin x − ¼ cos x) = 3.

16.8. log8 cos² x sin x = ½.

16.9. Найдите положительные решения уравнения

tg [ 5π(½)x] = 1.

16.10. Решите уравнение

lg² cos x + 2 lg cos x + m² + 2m − 3 = 0.

16.11. Для каждого действительного числа а решите уравнение

lg² sin x − 2а lg sin x − а² + 2 = 0.

16.12. Решите систему уравнений

16.13. Решите уравнение

4sin² πx + 4cos² πx = −8x² + 12|x| − ½.

16.14. Решите уравнение

Глава 17

Функции и их свойства

17.1. Решите неравенство

4f(x) + g(x) ≤ 0,

если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе

17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x³ − 6x² + 9x?

17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе

17.4. Решите систему уравнений

17.5. Дана функция f(x) = 6х² + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых

17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

log(x − у)(x + у) ≥ 1.

17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.

17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой

Сколько интервалов на прямой у = 2 − x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?