Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида 0/0 и 00 не имеют смысла.

11.1. Найдите log5 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение

9−|x − 2| − 4 · 3−|x − 2| − a = 0.

11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение

144|x| − 2 · 12|x| + а = 0.

Решите уравнения:

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10. log3(3x − 1) log3 (3x + 1 − 3) = 6.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15. log0,5xx² − 14 log16xx³ + 40 log4x√x = 0.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.  где а > 0, а ≠ 1.

11.20. Найдите неотрицательные решения системы уравнений

Решите системы уравнений:

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25. 

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Глава 12

Тригонометрические преобразования 

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями:

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:

sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,

cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,

3. Функции двойного и тройного аргумента:

sin 3х = 3 sin x − 4 sin³ x,     cos 3х = 4 cos³ x − 3 cos x.

4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:

5. Функции половинного аргумента:

6. Преобразование суммы функций в произведение:

7. Преобразование произведения функций в сумму:

sin x cos y = ½[sin (x − y) + sin (x + y)],

cos x cos y = ½[cos (x − y) + cos (x + y)],

sin x sin y = ½[cos (x − y) − cos (x + y)].

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin π/4 cos x − cos π/4 sin x нужно узнавать sin (π/4 − x), а не принимать ошибочно за sin (x − π/4), а в записи  узнавать ctg x/2.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение  Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2α tg (30° − α) + tg 2α tg (60° − α) + tg (60° − α) tg (30° − α) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg (α + β) = 2 tg α, если

sin α cos (α + β) = sin β и α + β ≠ π/2(2n + 1),  α ≠ π/2(2n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц 

cos π/7 cos 2π/7 cos 4π/7.

12.6. Вычислите без таблиц

tg π/7 tg 2π/7 tg 3π/7.

12.7. Докажите, что если  и  то при аВ + bA ≠ 0

12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где −1 ≤ k ≤ 1, то произведение sin (x + у) sin (x − у) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin α + sin β = а, cos α + cos β = b, то

12.10. Дано

2 tg² α tg² β tg² γ + tg² α tg² β + tg² β tg² γ + tg² γ tg² α = 1.

Вычислите sin² α + sin² β + sin² γ.

12.11. Углы α, β, γ образуют арифметическую прогрессию с разностью π/3 . Вычислите

А = tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ.

12.12. Сумма трех положительных чисел α, β и γ равна π/2. Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = nπ + (−1)n arcsin а, |а| ≤ 1,

cos x = а, x = 2nπ ± arccos а, |а| ≤ 1,

tg x = а, x = nπ + arctg а,

ctg x = а, x = nπ + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2nπ + αrсsin а,    x = π(2n + 1) − arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = nπ + (−1)n π/2.

При n = 2k получим x = 2kπ + π/2, а при n = 2k + 1 получим x = 2kπ + π − π/2 = 2kπ + π/2. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = nπ;      sin x = 1, x = π/2 + 2nπ;     sin x = −1, x = − π/2 + 2nπ;

cos x = 0, x = π/2 + nπ;      cos x = 1, x = 2nπ;     cos x = −1, x = (2n + 1)π;

tg x = 0, x = nπ;      ctg x = 0, x = π/2 + nπ.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2kπ, x − у = 2lπ; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)π, x − у = 2lπ. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x − у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x − у = πk может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.