Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин
где — коэффициент, характеризующий степень усечения исходного нормального распределения в относительных единицах.
Примечательно, что, как и в случае не усечённого нормального распределения, сумма денежных потоков, формируемых областями положительной и отрицательной доходности, равна МО дохода актива, т. е.
Кроме того, сравнительный анализ соотношений (7.7) и (7.18) показывает, что усечённое нормальное распределение дохода в данном случае может быть аппроксимировано нормальным распределением, если обеспечивается равенство параметров, т. е. при одновременном выполнении двух условий:
Для предельных значений СКО доходности и (см. для справки приложение 2) соотношения (7.16) и (7.17) приводятся к виду:
На рис. 7.5 представлены типичные зависимости денежных потоков, формируемых областями положительной и отрицательной доходности, от СКО доходности при фиксированном положительном значении МО доходности актива. На рис. 7.5 представлены зависимости применительно к усечённой нормальной плотности распределения дохода.
Рис. 7.5. Зависимости денежных потоков и от СКО доходности при фиксированном положительном значении МО доходности актива применительно к усечённой нормальной плотности распределения дохода
Сравнительный анализ результатов расчётов, а также рис. 7.3 и 7.5, показывает, что ход зависимостей и при малых значениях практически идентичен. Однако с ростом СКО доходности ход зависимостей отличается коренным образом. Если для нормальной плотности распределения дохода в зависимостях и характерно наличие экстремума, а при относительно больших значениях кривые вырождаются в линейную зависимость, то для усечённой нормальной плотности распределения кривые и монотонно стремятся к асимптотам и соответственно.
Следовательно, для усечённой нормальной плотности распределения с ростом СКО доходности от нуля до бесконечности доля области положительной доходности в МО дохода монотонно уменьшается, а доля области отрицательной доходности — монотонно увеличивается.
Математические ожидания дохода и потерь, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.
Математическое ожидание дохода, формируемого областью положительной доходности
Математическое ожидание потерь, формируемых областью отрицательной доходности
Относительные математические ожидания дохода и потерь соответственно определяются как
Относительная средняя прибыль
Таким образом, для усечённого нормального распределения относительная средняя прибыль также является МО доходности актива, которая «не чувствительна» к СКО доходности.
7.3. Определение плотности распределения стоимости акции на основе исторических данных
Предположим, что инвестор обладает ограниченной выборкой исторической стоимости актива, в частности акции. Причём есть основания полагать, что процесс случайных колебаний стоимости (курса) акции является стационарным или квазистационарным, т. е. исторические данные статистически устойчивы.
С использованием методов математической статистики на основе имеющейся информации инвестору необходимо удостовериться в правдоподобии гипотезы об усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции, определить точки усечения и, а также оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение стоимости акции (и). В данном случае выплаченные дивиденды не учитываются, а уровень благосостояния инвестора определяется курсом акции, т. е. (см. п. 1.1).
Типовое решение данной задачи рассмотрим на примере исторической стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» (данные фондовой биржи NASDAQ) за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г. (всего 100 торговых дней). На рис. 7.6 демонстрируется динамика курса акции корпорации (цена закрытия, closing price), а в таблице приложения 3 представлены те же данные в порядке возрастания стоимости (в теории вероятностей исторические данные, расположенные в порядке возрастания, носят название упорядоченной статистической совокупности [2]).
Рис. 7.6. Динамика курса акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г.
Анализ данных по исторической стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за рассматриваемый период показал, что минимальная цена акции составляла долл., а максимальная — долл.
На основе исторических данных представляется возможным рассчитать статистическое среднее значение стоимости акции и статистическое среднее квадратическое отклонение стоимости акции
где — количество торговых дней в выборке исторической стоимости акции; — историческая цена акции в — ый торговый день.
Применительно к акции корпорации «GENERAL MOTORS» за рассматриваемый период получаем долл. и долл.
Исторические данные стоимости акции были распределены по одинаковым шести разрядам с шагом 1,173 долл., как показано на гистограмме (см. рис. 7.7), методика построения которой изложена в [2]. Гистограмма является аналогом усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» с точками усечения долл. и долл., симметричными относительно центра рассеивания долл. Симметрия точек усечения на гистограмме достигнута за счёт незначительной коррекции максимальной цены акции с 46,48 долл. до 46, 58 долл.
Рис. 7.7. Гистограмма и усечённая нормальная плотность распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г.
Перечисленные параметры и соотношение (7.13) позволяют рассчитать численными методами величину СКО исходного не усечённого нормального распределения долл. Используя полученные данные, получаем значение коэффициента.
Таким образом, выражение для усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г. имеет вид
График зависимости изображён на рис. 7.7.
Сравнительный анализ гистограммы и зависимости на рис. 7.7. показывает, что на качественном уровне гипотезу об усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г. можно считать вполне приемлемой.
Для количественной оценки правдоподобия данной гипотезы можно воспользоваться критерием согласия Пирсона [1]. В результате расчётов установлено, что, число степеней свободы составляет [2, с. 143–144], а степень согласованности гистограммы с теоретической плотностью распределения характеризуется вероятностью. Величина данной вероятности достаточно высока, чтобы признать расхождения между гистограммой и теоретической плотностью распределения не противоречащими историческим данным.
7.4. Описательная модель ценообразования обыкновенных акций в условиях эффективного рынка
Перед покупкой или продажей обыкновенной акции инвестор анализирует её инвестиционные качества, в частности, детально изучается информация о текущем курсе, исторической динамике стоимости, дивидендах и т. п. Кроме того, изучаются и сопоставляются инвестиционные качества других активов, обращающихся на рынке. В результате создаются объективные предпосылки для формирования эффективного рынка, на котором покупатель не переплатит, а владелец не продешевит при покупке — продаже акции [1].
Теоретически на эффективном рынке устанавливается рыночное равновесие, т. е. акции не позволяют получить отличную от нормальной прибыль (сверхприбыль). В случае нарушения рыночного равновесия происходит «автоматическая» коррекция курсов недооцененных или переоцененных акций за счёт чего достигается восстановление равновесия (см. п. 1.9). Поэтому принято полагать, что на эффективном рынке цены на акции являются справедливыми [1].
В действительности стоимость любого актива зависит от перспектив, которые почти всегда инвестору не ясны. Любая дополнительная информация относительно этих перспектив может привести к переоценке стоимости актива [1]. Поэтому, во — первых, единообразное представление о справедливой стоимости, нормальной прибыли и эффективном рынке отсутствует и инвесторы могут судить о рыночном равновесии, опираясь лишь на личный опыт и интуицию. Во — вторых, из — за неопределённости перспектив ни владелец, ни потенциальный покупатель не могут
