Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин

Математические ожидания дохода и потерь, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.

Математическое ожидание дохода, формируемого областью положительной доходности

Математическое ожидание потерь, формируемых областью отрицательной доходности

Следует отметить, что, во — первых, МО потерь можно рассматривать как среднюю стоимость инвестиционного риска. Во — вторых, МО дохода и МО потерь однозначно взаимосвязаны, поскольку оба параметра зависят от одних и тех же трёх переменных, и.

Относительные МО дохода и потерь. Для сравнительного анализа инвестиционных качеств активов абсолютные величины МО дохода и потерь не информативны. Для этих целей целесообразно использовать относительные величины и, которые позволяют оценить:

МО дохода, формируемого областью положительной доходности, на одну инвестированную денежную единицу

МО потерь, формируемых областью отрицательной доходности, в расчёте на одну инвестированную денежную единицу

Как следует из соотношений (7.11) и (7.12) величины и однозначно взаимосвязаны и являются функцией МО доходности и СКО доходности (или коэффициента вариации). Причём рост или снижение МО потерь сопровождается эквивалентным ростом или снижением МО дохода.

Относительное МО прибыли определяется разностью величин и

Анализ этого соотношения показывает, что относительное МО прибыли является не чем иным как МО доходности актива. Кроме того, если величины и являются функцией коэффициента вариации (т. е. СКО доходности), то в относительном МО прибыли данная зависимость исчезает. Другими словами, МО доходности «не чувствительна» к СКО доходности актива, что обусловлено компенсацией МО потерь, формируемых областью отрицательной доходности, равными МО доходов, формируемых областью положительной доходности.

Таким образом, разделение нормальной плотности распределения дохода актива на области положительной и отрицательной доходности позволяет расширить возможности для более детального анализа инвестиционных качеств активов.

7.2. Стохастическая модель активов с усечённой нормальной плотностью распределения дохода

Как уже указывалось выше (см. п.п. 1.1 и 7.1), в портфельной теории Г.Марковица — У.Шарпа доход актива принято считать нормально распределённым. При этом не акцентируется внимание на специфические особенности нормального распределения дохода.

Во — первых, нормальное распределение предполагает изменение дохода от инвестиций в бесконечных пределах, что противоречит здравому смыслу.

Во — вторых, доход актива не может быть отрицательным числом. Если же вероятность того, что величина примет отрицательное значение пренебрежительно мала, то использование нормального распределения можно считать допустимым.

Для оценки возможности использования нормального распределения дохода можно воспользоваться также правилом «трёх сигм» [2], согласно которому практически все (с вероятностью 0,9974) значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале

В — третьих, существуют естественные рыночные ограничения по возможным минимальному и максимальному значениям величины дохода актива.

Поэтому логично принять гипотезу не о нормальном, а об усечённом нормальном распределении дохода актива

где и — точки усечения, т. е. минимально и максимально возможные значения величины дохода соответственно; — коэффициент, определяемый согласно фундаментальному свойству плотности распределения случайной величины из уравнения.

Так как доход не может быть отрицательным, то справедливо ограничение.

Коэффициент обратно пропорционален вероятности появления случайной величины с не усечённой нормальной плотностью распределения в интервале усечения, т. е.

где и — аргументы интеграла вероятностей.

Если одновременно выполняются условия и (см. п. 7.1), то и, как следствие, То есть в этом случае усечённое нормальное распределение может быть удовлетворительно аппроксимировано нормальным распределением случайной величины.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины с усечённой нормальной плотностью распределения дохода связаны с параметрами исходного не усечённого нормального распределения (и) как

где

В дальнейшем для определённости будем полагать, что точки усечения являются симметричными относительно центра рассеивания, т. е.

В этом случае справедливы равенства

Учитывая данные равенства, можно доказать, что при симметрии точек усечения МО дохода актива совпадает с центром рассеивания, а выражение для СКО дохода преобразуется к виду

Анализ соотношения (7.13) показывает, что в диапазоне изменения аргумента интеграла вероятностей и подкоренные выражения всегда меньше единицы. Поэтому СКО дохода не может превышать СКО дохода исходного не усечённого нормального распределения.

Представим аргументы интеграла вероятностей и как

где и — максимальная и минимальная возможные доходности актива при его стоимости.

Тогда применительно к активам с усечённой нормальной плотностью распределения дохода СКО доходности можно определить по формуле

То есть следует различать СКО дохода актива с усечённой нормальной плотностью распределения и СКО дохода актива исходного не усечённого нормального распределения, а также СКО доходностей и. Необходимо отметить, что значения СКО дохода и определяются на основе исторических данных по стоимости актива, а значения СКО доходностей и рассчитываются численными методами с использованием приведенных выше соотношений.

На рис. 7.4 представлен график усечённой нормальной плотности распределения дохода актива с точками усечения, симметричными относительно центра рассеивания.

Рис. 7.4. Усечённая нормальная плотность распределения дохода актива с точками усечения и, симметричными относительно центра рассеивания

Для определённости будем полагать, что цена приобретения актива лежит в пределах от до. Следует отметить, что, во — первых, при длительном владении активом из — за значительного роста или падения его курса, а также инфляции на фондовом рынке, цена приобретения актива может оказаться вне указанного диапазона, т. е. или. Во — вторых, неравенство будет соблюдаться при условии (где — минимально возможное значение стоимости актива), что равносильно, поскольку и.

По аналогии с п. 7.1 определим дополнительные параметры усечённого нормального распределения дохода актива.

Вероятности положительной и отрицательной доходности актива.

Вероятность положительной доходности актива определяется как

где

Аргумент вероятностей можно преобразовать к виду

Вероятность отрицательной доходности актива рассчитывается по формуле

Аргумент вероятности можно преобразовать к виду

Очевидно, что сумма вероятностей отрицательной и положительной доходности равна единице, т. е. Причём при приобретении актива по минимальной цене вероятность отрицательной доходности равна нулю, а вероятность положительной доходности равна единице, что свойственно безрисковому активу.

Плотности распределения случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Плотность распределения случайной величины в области положительной доходности

где — коэффициент, определяемый из уравнения

В результате преобразований получаем

Плотность распределения случайной величины в области отрицательной доходности

где — коэффициент, определяемый из уравнения

В результате преобразований получаем

Математические ожидания случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Математическое ожидание случайной величины в области положительной доходности (см. рис. 7.4)

Математическое ожидание случайной величины в области отрицательной доходности (см. рис. 7.4)

Денежные потоки, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.

Денежный поток, формируемый областью положительной доходности, определяется как

Денежный поток, формируемый областью отрицательной доходности, определяется подобным образом

В соотношениях (7.16) и (7.17) общий параметр, характеризующий структуру денежных потоков, определяется