Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин

Нормальная плотность распределения дохода актива.

Вероятности положительной и отрицательной доходности актива.

Вероятность положительной доходности актива определяется как

где — интеграл вероятностей; — аргумент интеграла вероятностей.

Приближённые соотношения для расчёта значений интеграла вероятностей при относительно малых и больших значениях аргумента вероятностей приведены в приложении 2.

Вероятность отрицательной доходности актива рассчитывается по формуле

Для дальнейших выкладок целесообразно отметить, что:

интеграл вероятностей является нечётной функцией, т. е.;

интеграл вероятностей изменяется в пределах от –0,5 до +0,5;

допустимо полагать и;

если, то аргумент интеграла вероятностей положителен при этом и;

если, то аргумент интеграла вероятностей отрицателен при этом и.

Очевидно, что сумма вероятностей положительной и отрицательной доходности актива равна единице, т. е. При этом для безрискового актива (при) значения данных вероятностей составляют и.

Коэффициент вариации доходности актива.

В теории вероятностей отношение СКО к МО случайной величины называют коэффициентом вариации, который является относительной мерой изменчивости (устойчивости) случайной величины.

Представим аргумент интеграла вероятностей в виде

где — коэффициент вариации доходности актива.

Таким образом, коэффициент вариации может быть определён как

Применительно к безрисковым активам с абсолютно устойчивой доходностью значение коэффициента вариации доходности актива равно нулю, а рост неустойчивости доходности рискованного актива приводит к неограниченному росту коэффициента вариации

Цена приобретения актива не может быть отрицательной величиной и теоретически её минимально возможное значение составляет, поэтому наименьшее положительное значение коэффициента вариации доходности актива равно. Отношение СКО дохода к МО дохода является не чем иным как коэффициентом вариации дохода актива т. е.

Кроме того, следует отметить, что цена приобретения актива не может принимать и сколь угодно большие положительные значения. Поэтому нормальное распределение следует рассматривать лишь как удобную аппроксимацию реальной плотности распределения дохода актива.

На рис. 7.2 представлен график зависимости коэффициента вариации от цены приобретения актива.

Рис. 7.2. Зависимость коэффициента вариации доходности от цены приобретения актива

Анализ соотношения (7.1) и графика на рис. 7.2 показывает, что:

графиком зависимости коэффициента вариации доходности от цены приобретения актива является равносторонняя гипербола с асимптотой, проходящей параллельно оси ординат через точку с координатами;

стремление инвестора к предельно низкой цене приобретения актива обеспечивает не только более высокую доходность, но и сравнительно низкое значение коэффициента вариации, т. е. наибольшую устойчивость доходности актива;

минимальная устойчивость доходности наблюдается при или.

Удобство от использования коэффициента вариации при анализе инвестиционных качеств актива заключается в замене трёх переменных и на одну переменную. Например, выражения для вероятностей положительной и отрицательной доходности можно преобразовать соответственно к виду

Анализ данных соотношений показывает, что уровни вероятностей отрицательной и положительной доходности актива зависят от одного параметра — коэффициента вариации. При этом большее значение коэффициента вариации свидетельствует об относительно высоком уровне вероятности отрицательной и низком уровне вероятности положительной доходности актива. Чем ближе коэффициент вариации к нулю, тем выше уровень вероятности положительной доходности и меньше уровень вероятности отрицательной доходности актива. Как уже отмечалось, для безрисковых активов, вероятности и, т. е. риск отрицательной доходности актива полностью отсутствует.

Кроме того, поскольку вероятности отрицательной и положительной доходности актива является исключительно функцией одного параметра, то в качестве меры инвестиционного риска может служить на равных основаниях, как вероятность отрицательной или положительной доходности, так и коэффициент вариации доходности.

Плотности распределения случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Плотность распределения случайной величины в области положительной доходности

где — коэффициент, определяемый согласно фундаментальному свойству плотности распределения случайной величины из уравнения [2], или

Учитывая соотношение для вероятности положительной доходности актива, получаем

Плотность распределения случайной величины в области отрицательной доходности

где — коэффициент, определяемый из уравнения.

Учитывая соотношение для вероятности отрицательной доходности актива, находим

Математическое ожидание случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Математическое ожидание случайной величины в области положительной доходности (см. рис. 7.1)

Математическое ожидание случайной величины в области отрицательной доходности (см. рис. 7.1)

Анализ полученных соотношений и рис. 7.1 показывает, что независимо от значений величин и справедливо неравенство.

Денежные потоки, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.

Денежный поток, формируемый областью положительной доходности, определяется как

Денежный поток, формируемый областью отрицательной доходности, определяется как

В соотношениях (7.5) и (7.6) общим является параметр

С учётом данного соотношения, формулы (7.5) и (7.6) преобразуем к виду

Таким образом, величины и являются функцией одного и того же параметра и определяют вклад в МО дохода областей отрицательной и положительной доходности. Другими словами соотношение между слагаемыми и, т. е. структура денежных потоков, определяется параметром.

Например, при области отрицательной и положительной доходности обеспечивают соответственно 20 % и 80 % МО дохода актива.

Примечательно, что параметр изменяется в диапазоне значений от до, а сумма денежных потоков, формируемых областями положительной и отрицательной доходности, независимо от значения параметра всегда равна МО дохода актива, т. е. Это означает, что величины, и (или производные от этих величин и) оказывают влияние на слагаемые и, но не влияют на их сумму.

Для предельных значений СКО доходности актива и соотношения (7.8) и (7.9) приводятся к виду:

Данные четыре формулы получены с использованием известных в математике приближённых соотношений (см. приложение 2).

На рис. 7.3 представлены типичные зависимости денежных потоков, формируемых областями положительной и отрицательной доходности, от СКО доходности при фиксированном положительном значении МО доходности актива.

Рис. 7.3. Зависимости денежных потоков и от СКО доходности при фиксированном положительном значении МО доходности актива

Анализ соотношений (7.8) и (7.9) и графиков на рис. 7.3 показывает, что применительно к безрисковому активу денежные потоки, формируемые областями положительной и отрицательной доходности, составляют и.

При положительном значении МО доходности и сравнительно малых значениях СКО доходности, когда выполняются условия и

вторым слагаемым в соотношении (7.7) можно пренебречь. В этом случае и,т. е. рискованный и безрисковый активы практически равноценны.

С ростом неустойчивости доходности актива из — за роста СКО происходят изменения в структуре МО дохода, которые возникают из — за перераспределения вкладов областей положительной и отрицательной доходности. При относительно небольших значениях, в частности, при, вклад области положительной доходности остаётся определяющим, но постепенно снижается до некоторого минимума, а отрицательной — увеличивается до максимума. Дальнейший рост СКО доходности, когда становится справедливым неравенство, приводит к обратному эффекту — росту вклада области положительной доходности и соответствующему снижению вклада области отрицательной доходности. При достаточно больших значениях СКО доходности зависимости и от переменной вырождаются в линейные функции.

При отрицательных значениях