Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса
Исторически человеческие характеристики служили основой не только для изучения статистических частотных распределений, но и для формулировки математического понятия корреляции. Корреляция – это степень, в которой изменения значения одной переменной приводят к изменениям другой. Например, чем выше женщина, тем больше у нее должен быть размер обуви. Подобным же образом психологи обнаружили корреляцию между интеллектом родителей и школьной успеваемостью детей.
Понятие корреляции особенно полезно в ситуациях, когда между двумя переменными нет точной функциональной взаимозависимости. Например, представим себе, что одна переменная – максимальная дневная температура на юге Аризоны, а другая – количество лесных пожаров в том регионе. Невозможно предсказать, какое количество лесных пожаров возникает при данной температуре, поскольку количество пожаров зависит и от других переменных, в частности, от влажности воздуха и от количества костров, которые разжигают люди. Иначе говоря, любому значению температуры соответствует разное количество лесных пожаров и наоборот. И все же математическое понятие коэффициента корреляции позволяет нам количественно измерить прочность отношений между двумя подобными переменными.
Коэффициент корреляции ввел в арсенал математиков викторианский географ, метеоролог, антрополог и статистик сэр Фрэнсис Гальтон (1822–1911)[88]. Гальтон – кстати, двоюродный брат Чарльза Дарвина – не был профессиональным математиком. Он был человек сугубо практического склада и обычно предоставлял другим математикам доводить свои новаторские понятия до совершенства; особенно ему помогал в этом статистик Карл Пирсон (1857–1936). Вот как Гальтон объяснял понятие корреляции.
Длина локтя коррелирует с телосложением, поскольку длинный локоть обычно предполагает высокий рост. Если корреляция между ними очень тесная, то очень длинный локоть обычно предполагает очень высокий рост, однако если бы она была не очень тесная, то очень длинный локоть в среднем связывался бы всего лишь с высоким, но не с очень высоким ростом, тогда как если бы она была нулевая, то очень длинный локоть не был бы связан ни с какими особенностями роста, а следовательно, в среднем, был бы связан с заурядным ростом.
В дальнейшем Пирсон дал точное математическое определение коэффициента корреляции. Этот коэффициент определяется таким образом, что когда корреляция очень высока – то есть когда колебания одной переменной очень точно следуют за взлетами и падениями другой, – коэффициент приобретает значение 1. Если же две величины антикоррелированы, то есть одна величина возрастает, когда другая уменьшается, и наоборот, коэффициент равен –1. Если две переменные ведут себя так, будто другой и вовсе не существует, коэффициент корреляции равен 0 (например, поведение иных правительств, к сожалению, демонстрирует практически нулевую корреляцию с пожеланиями народа, который они якобы представляют).
От выявления и вычисления корреляций в наши дни зависят и медицинские исследования, и экономические прогнозы. Например, связь между курением и раком легких и загаром и раком кожи изначально была выявлена благодаря обнаружению и вычислению корреляций. Биржевые аналитики постоянно пытаются найти и вычислить корреляции между поведением рынка и другими переменными – и любое подобное открытие приносит фантастические прибыли.
Как быстро выяснили некоторые первые статистики, и сбор статистических данных, и их интерпретация – дело непростое, и заниматься им надо с предельной осторожностью. Рыбак, который пользуется сетью с ячеей в десять дюймов, рискует сделать вывод, будто все рыбы в море больше десяти дюймов – просто потому, что более мелкая рыба к нему в сети не попадается. Это пример эффекта селекции, иначе называемого ошибкой отбора – предвзятости, которая влияет на результаты и вызвана либо используемым для сбора данных аппаратом, либо методами их анализа. Еще одна трудность – размер выборки. Например, современные опросы общественного мнения обычно охватывают не более нескольких тысяч человек. Откуда опрашивающие знают, что мнения, высказанные теми, кто попал в эту выборку, точно отражают мнения сотен миллионов человек? Кроме того, следует понимать, что корреляция не обязательно предполагает причинно-следственные связи. Иногда количество проданных тостеров растет одновременно с количеством проданных билетов на концерты классической музыки, но из этого не следует, что появление в доме нового тостера способствует улучшению музыкального вкуса. Скорее, и то и другое вызвано повышением уровня жизни.
Невзирая на все эти существенные оговорки, статистика превратилась в современном обществе в весьма действенный инструмент – именно она, в сущности, и делает социальные науки науками. Но почему она вообще дает осмысленные результаты? Ответ на этот вопрос дает математика вероятности, которая определяет самые разные стороны современной жизни. Когда инженеры решают, какими предохранительными устройствами снабдить пилотируемую исследовательскую капсулу для астронавтов, физики-ядерщики анализируют результаты экспериментов на ускорителе, психологи оценивают развитие детей по результатам тестов на IQ, фармацевтические компании оценивают действенность новых лекарств, а генетики изучают человеческую наследственность – все это непременно опирается на математическую теорию вероятности.
Игра случая
Серьезные исследования вероятности начались довольно скромно – с попыток игроков понять, как делать ставки в зависимости от шансов на успех[89]. В частности, в середине XVII века один французский аристократ по имени шевалье де Мере, известный игрок, задал целый ряд вопросов об игре знаменитому французскому математику и философу Блезу Паскалю (1623–1662). Паскаль в 1654 году вступил в оживленную переписку по поводу этих вопросов с другим французским математиком того времени Пьером Ферма (1601–1665). По сути дела, в ходе этой переписки и родилась теория вероятности.
Рассмотрим интереснейший пример, который Паскаль исследует в письме, датированном 29 июля 1654 года (Todhunter 1865, Hald 1990). Представьте себе двух аристократов, которые играют в кости, бросая один-единственный кубик. Каждый игрок положил на стол по 32 золотых пистоля. Первый игрок загадал число 1, второй – число 5. Каждый раз, когда на кубике выпадает загаданное игроком число, он получает одно очко. Побеждает тот, кто первым наберет три очка. Однако предположим, что с начала игры число 1 выпадало уже дважды, то есть игрок, загадавший его, получил уже два очка, а число 5 – лишь один раз, то есть его противник получил всего лишь одно очко. Если игра по какой-то причине в этот момент прерывается, как разделить между игроками 64 пистоля? Паскаль и Ферма нашли математически логичный ответ. Если бы игрок, набравший два очка, выиграл при следующем броске, то получил бы все 64 пистоля. Если бы при следующем броске выиграл второй игрок, то у каждого стало бы по два очка, и каждый, следовательно, получил бы по 32 пистоля. Поэтому, если игроки расходятся, не совершив следующего броска, первый игрок мог бы по справедливости сказать: «Я точно получу 32 пистоля, даже если проиграю этот бросок, а что касается остальных 32 пистолей, то их получу либо я, либо вы, наши шансы равны. Так что давайте поделим эти 32 пистоля поровну, а мне отдадим еще и те 32 пистоля, в которых я уверен». Иначе говоря, первый игрок должен получить 48 пистолей, а второй – 16 пистолей. Просто не верится, что из этих тривиальных на вид рассуждений родилась глубочайшая научная дисциплина! Однако именно по этой причине математика и обладает непостижимой и необъяснимой эффективностью, именно поэтому она так загадочна.
Суть теории вероятности можно уяснить из следующих простых фактов[90]. Никто не может точно предсказать, какой стороной вверх упадет подброшенная монетка. Даже если десять раз подряд выпадала решка, это ни на йоту не поможет нам точно предсказать, что выпадет в следующий раз. Однако мы можем совершенно точно предсказать, что если бросить монетку десять миллионов раз, то с очень небольшими отклонениями в половине случаев выпадет орел, а в половине – решка. Более того, в конце XIX статистик Карл Пирсон, набравшись терпения, подбросил монетку 24 000 раз. Решка выпала в 12 012 случаев. В некотором смысле теория вероятности к этому и сводится. Теория вероятности снабжает нас точной информацией о том, как будет выглядеть совокупность результатов большого количества экспериментов, но никогда не предсказывает результат какого-то одного конкретного эксперимента[91]. Если эксперимент может дать n возможных результатов, причем шансы получить каждый из них равны, то вероятность каждого результата равна 1/n. Если бросить кость, не жульничая, то вероятность получить число 4 равна 1/6, поскольку у игральной кости шесть сторон и шансы на то, что выпадет та или иная из них, равны. Представьте себе, что вы бросили кость семь раз подряд и каждый раз получали 4 – какова вероятность получить 4 в результате следующего броска? Теория вероятности дает на это четкий и ясный ответ: вероятность по-прежнему равна 1/6, потому что кость ничего не помнит и все разговоры о «счастливой звезде» и о том, что следующий бросок возместит прежний перекос, не более чем мифы. А правда состоит в том, что если бросить кость миллион раз, результаты выровняются по средним значениям, и 4 будет выпадать почти точно в 1/6 части случаев.
