Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса
Хотя положение в большей части современного мира по сравнению с печальной статистикой Галлея заметно улучшилось, к сожалению, так обстоят дела не во всех странах. Например, в Замбии уровень смертности детей до пяти лет в 2006 году достиг чудовищной цифры в 182 смерти на 1000 живых новорожденных. И ожидаемая продолжительность жизни в Замбии так низка, что сердце сжимается: всего тридцать семь лет.
Однако статистика занимается не только смертями. Она проникает во все аспекты человеческой жизни – от чисто физических черт до плодов интеллектуального труда. То, что статистика, потенциально способна порождать «законы» для общественных наук, первым понял бельгийский ученый-энциклопедист Ламбер-Адольф-Жак Кетле (1796–1874). Именно ему мы и обязаны введением общестатистического понятия «среднего человека».
Средний человек
Адольф Кетле родился 22 февраля 1796 года в древнем бельгийском городе Генте[86]. Его отец, городской чиновник, умер, когда Адольфу было всего семь лет. Кетле был вынужден сам зарабатывать себе на жизнь и уже в 17 лет стал преподавать математику. В свободные от учительских обязанностей время он сочинял стихи, написал либретто оперы, поучаствовал в создании двух пьес и перевел несколько художественных произведений. При всем при том его любимым предметом осталась математика, и он первым закончил Гентский университет со степенью доктора наук. В 1820 году Кетле был избран членом Королевской академии наук в Брюсселе и вскоре стал принимать активнейшее участие в ее деятельности. Следующие несколько лет были посвящены в основном преподаванию и публикации нескольких трактатов по математике, физике и астрономии.
Первую лекцию по истории науки Кетле обычно начинал следующим глубоким наблюдением: «Чем сильнее развиваются науки, тем дальше они вступают в сферу влияния математики, которая становится словно бы центром, к которому они стягиваются. О том, какого совершенства достигла та или иная наука, можно судить по тому, с какой легкостью ее результаты можно получить путем вычисления».
В декабре 1823 года Кетле за государственный счет направили в Париж, в основном для изучения наблюдательных методов астрономии. Однако оказалось, что трехмесячный визит в тогдашнюю математическую столицу мира направил Кетле в совершенно другую сторону – к изучению теории вероятности. А пламенный интерес к этой теме разжег у Кетле не кто-нибудь, а сам Лаплас. Впоследствии Кетле так писал о своем опыте работы в статистике и теории вероятности (Quetelet 1828).
Случай – это таинственное слово, которое так часто употребляют не к месту – нужно понимать лишь как прикрытие для невежества, это фантом, захвативший абсолютную власть над заурядным умом, привыкшим рассматривать события исключительно в изолированном виде, но рассыпающийся в прах перед философом, чей кругозор охватывает длинную череду событий и чья проницательность не отвлекается на мелкие отклонения, которые исчезают, стоит ему встать на нужную точку зрения и распознать законы природы.
Трудно переоценить значение этого вывода. В сущности, Кетле отрицает роль случая и заменяет его смелым, хотя и не вполне доказанным, предположением, что причины есть даже у общественных феноменов и что закономерности, проявляющиеся в статистических результатах, можно использовать для выявления законов, лежащих в основе общественного порядка.
В попытке проверить свой статистический подход Кетле отважился на масштабное начинание – стал собирать коллекцию из тысяч измерений различных параметров человеческого тела. Например, он изучал распределение обхвата груди 5738 шотландских солдат и рост 100 000 французских призывников, отдельно прослеживая частоту, с которой встречается каждая человеческая черта. Иначе говоря, он графически выразил, сколько призывников имеют рост, скажем, от пяти футов до пяти футов двух дюймов, сколько – от пяти футов двух дюймов до пяти футов четырех дюймов и т. д. В дальнейшем он построил подобные кривые даже и для «моральных», по его выражению, черт, для которых удалось набрать достаточно данных. В число этих качеств входили самоубийства, браки и склонность к правонарушениям. К своему изумлению, Кетле обнаружил, что все человеческие характеристики следовали так называемому нормальному распределению частоты в виде колокольчика (рис. 33). Эту линию также не вполне заслуженно называют гауссианой в честь «князя математики» Карла Фридриха Гаусса. Что бы ни измерял Кетле – рост, вес, длину конечностей и даже интеллектуальные качества, определяемые лучшими на тот момент психологическими тестами, – у него раз за разом получалась одна и та же кривая. Для Кетле она была не в новинку: математики и физики знали ее, еще начиная с середины XVIII века, и Кетле был с ней знаком еще по астрономическим наблюдениям, так что некоторой неожиданностью для него стала лишь связь этой кривой с чертами и качествами человека. Раньше эту кривую называли кривой ошибок, поскольку она появлялась при исследовании всякого рода ошибок и погрешностей в измерениях.
Рис. 33
Представьте себе, например, что вам хочется очень точно измерить температуру жидкости в сосуде. Можно взять точнейший термометр и на протяжении часа сделать тысячу последовательных измерений. Окажется, что из-за случайных ошибок, а может быть, и некоторых колебаний температуры не все результаты будут одинаковы. Скорее, все результаты скопятся вокруг какого-то центрального значения, но иногда температура окажется чуть выше, иногда чуть ниже. Если записать, сколько раз среди измерений встретилось то или иное значение, получится та самая кривая в виде колокольчика, которая, как выяснил Кетле, также описывает черты и качества человека. Более того, чем больше измерений той или иной физической величины будет проделано, тем точнее полученное распределение частот приблизится к нормальной кривой. Непосредственный вывод, который напрашивается из этого при ответе на вопрос о непостижимой эффективности математики, сам по себе поразителен: оказывается, строгим математическим законам подчиняются даже человеческие ошибки!
Кетле сделал и более смелые выводы. Он решил, что если черты и качества человека описываются кривой ошибок, значит, «средний человек» – это тип, который природа стремится породить[87]. По мысли Кетле, подобно тому, как при производстве гвоздей погрешности изготовления приводят к некоему распределению колебаний длины гвоздя возле средней (правильной) длины, ошибки природы распределены вокруг некоего предпочтительного биологического типа. Кетле объявил, что представители одного народа стремятся к какому-то среднему показателю, «словно результаты измерений одного и того же человека при помощи инструментов, грубость которых объясняла бы разброс отклонений».
Очевидно, это было все же слишком смелое обобщение. Конечно, Кетле открыл, что биологические характеристики, и физические, и психологические, распределяются по нормальной кривой частот, и это было необычайно важное открытие, однако нельзя ни считать его доказательством намерений матери-природы, ни рассматривать отдельные вариации просто как ошибки. Скажем, Кетле обнаружил, что средний рост французских призывников составляет пять футов четыре дюйма. Однако на левом конце кривой он обнаружил человека ростом в один фут пять дюймов. Очевидно, нельзя списывать это на ошибку в четыре фута, допущенную при измерении роста в пять футов четыре дюйма.
Даже если пренебречь идеей «законов», которые определяют создание людей по одному шаблону, уже одно то, что распределение самых разных свойств – от веса до IQ – следует одной и той же нормальной кривой, само по себе примечательно. Но этого мало – даже распределение среднего уровня успешных подач в высшей бейсбольной лиге и то более или менее нормально, равно как и доходность фондовых индексов (которые составляются из множества отдельных фондов). Более того, если распределение отклоняется от нормальной кривой, его, как правило, надо основательно проверить. Например, если распределение оценок по английскому языку в какой-то школе отличается от нормального, это наводит на мысль о проверке принятых там правил выставления оценок. Однако это не означает, что все распределения нормальны. Распределение длин слов, которые Шекспир употреблял в своих пьесах, не нормально. Слов из трех-четырех букв у него гораздо больше, чем слов из одиннадцати-двенадцати букв. Среднегодовой доход на семью в США тоже распределяется не в соответствии с нормальной кривой. Например, в 2006 году самые богатые 6,37 % домохозяйств получали примерно треть всего дохода. Это наталкивает на интересный вопрос: если и физические, и интеллектуальные качества людей (определяющие, надо думать, потенциальные способности получать доход) подчиняются нормальному распределению, почему с доходом все иначе? Ответы на подобные социально-экономические вопросы, к сожалению, выходят за рамки этой книги. С нашей нынешней – несколько ограниченной – точки зрения удивляться следует уже тому, что, похоже, все физически измеримые особенности людей, растений и животных (той или иной разновидности) распределяются по одной-единственной математической функции.
