Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса
Глава 5
Статистики и пробабилисты: наука о неопределенности
Мир не стоит на месте. Все, что нас окружает, либо движется, либо постоянно меняется. Даже твердая Земля под ногами на самом деле вертится вокруг своей оси, вращается вокруг Солнца и – вместе с Солнцем – движется вокруг центра нашей галактики Млечный Путь. Воздух, которым мы дышим, состоит из триллионов молекул, которые движутся – хаотически, без остановки. А одновременно кругом растут растения, распадаются радиоактивные материалы, температура атмосферы растет и падает в зависимости от времени суток и времени года, а ожидаемая продолжительность жизни просто возрастает. Однако эта космическая неугомонность сама по себе не отменяет математику. Ньютон и Лейбниц разработали отрасль математики под названием математический анализ[80] именно затем, чтобы можно было строго анализировать и строить точные модели и движения, и перемен. К настоящему времени этот невероятный научный инструмент достиг такой мощности и универсальности, что его можно применять для решения самых разных задач – от движения космического челнока до распространения инфекционной болезни. Подобно тому как кино передает движение, разбивая его на последовательность неподвижных кадров, математический анализ измеряет перемены с таким маленьким шагом, что это позволяет определять количества, существующие лишь мимолетно, например мгновенную скорость, ускорение или темп изменения.
Математики так называемой эпохи Рационализма (конец XVII–XVIII вв.), следуя по стопам титанов Ньютона и Лейбница, расширили и дополнили математический анализ и разработали еще более мощную отрасль дифференциальных уравнений, которая находит еще более широкое практическое применение. Это новое орудие позволило ученым строить подробные математические теории самых разных явлений – от музыки, порожденной струнами скрипки, до передачи тепла, от движения волчка до течения жидкостей и газов. Некоторое время именно дифференциальные уравнения были излюбленным инструментом прогресса в физике.
Одними из первопроходцев в исследовании новых горизонтов, которые открывали дифференциальные уравнения, были члены знаменитой семьи Бернулли[81].
Между серединой XVII и серединой XVIII веков эта семья подарила миру целых восемь выдающихся математиков. Не меньше, чем математическими достижениями, эти одаренные личности прославились и внутрисемейными распрями (описанными в Hellman 2006). Скандалы между разными Бернулли всегда были связаны с соперничеством за первенство в математике, но при этом задачи, о которых они спорили, казалось бы, не играют в наши дни такой уж важной роли. Однако решение этих хитрых головоломок зачастую прокладывало дорогу гораздо более серьезным математическим открытиям.
В целом нет никаких сомнений, что семейство Бернулли играло важную роль в становлении математики как языка самых разнообразных физических процессов.
Примером того, как сложно было устроено мышление двух самых блистательных Бернулли – братьев Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) – может служить следующая история. Якоб Бернулли был одним из основателей теории вероятностей, и мы еще вернемся к нему в этой главе. Однако к 1690 году Якоб с головой погрузился в изучение задачи, которую за двести лет до него сформулировал и исследовал еще величайший деятель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи: какую форму примет гибкая, но нерастяжимая цепочка, закрепленная за концы (как на рис. 31)? Леонардо в своих записных книжках несколько раз рисовал такие цепочки. Считается, что эту задачу задавал и Декарту его друг Исаак Бекман, однако не осталось никаких свидетельств, что Декарт пытался ее решить. Впоследствии эта задача получила название «задача о цепной линии»[82]. Галилей считал, что это должна быть парабола, однако французский иезуит Игнас-Гастон Пардис (1636–1673) доказал, что это не так. Правда, сам Пардис тоже не сумел математически вывести правильную форму цепочки.
Рис. 31
Прошел всего год с тех пор, как Якоб Бернулли поставил задачу, когда его младший брат Иоганн решил ее (при помощи дифференциального уравнения). Решили ее и Лейбниц, и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629–1695), однако решение Гюйгенса было получено не очень ясным геометрическим методом. То, что Иоганн сумел решить задачу, которая поставила в тупик его брата и учителя, было для младшего Бернулли неисчерпаемым источником самодовольства – даже спустя тринадцать лет после смерти Якоба. Иоганн не мог скрыть торжества в письме, адресованном 29 сентября 1718 года французскому математику Пьеру Ремону де Монмору (1678–1719) (цит. по Truesdell 1960).
Вы говорите, что задачу поставил мой брат; так и есть, однако следует ли из этого, что он получил ее решение? Отнюдь нет. Когда он предложил мне рассмотреть задачу (ибо я первым задумался над ней), никто из нас, ни тот ни другой, не сумел ее решить, мы отчаялись и считали, что она не имеет решения, пока господин Лейбниц не опубликовал в Лейпцигском журнале за 1690 год, стр. 360, заметку, что решил задачу, однако решения не представил, словно бы давал время другим ученым, и именно это побудило нас – и брата, и меня – заново взяться за нее.
Сначала Иоганн бессовестно приписывает себе даже саму постановку задачи, а затем с нескрываемым злорадством продолжает.
Старания моего брата ни к чему не привели, мне же повезло больше, ибо я обладаю мастерством (я говорю не хвастаясь, к чему скрывать истину?), позволяющим найти полное решение… Да, безусловно, это потребовало от меня усердных занятий, лишивших меня остатка ночного сна… однако наутро, преисполнившись радости, я бросился к брату, который все так же безуспешно бился над своим гордиевым узлом, но у него ничего не получалось, поскольку он вслед за Галилеем считал, будто цепная линия – это парабола. «Стой! Стой! – говорю я ему. – Не терзай себя больше попытками доказать, что цепная линия тождественна параболе, поскольку это совершенно неверно»… Но затем вы поражаете меня выводом, что мой брат будто бы нашел метод решения задачи… неужели вы и вправду думаете, спрашиваю я вас, что если бы мой брат решил упомянутую задачу, он был бы столь многим мне обязан, что даже не заявил, что входит в число решивших задачу, уступив мне славу и дав в одиночестве выйти на сцену в качестве первого решившего вместе с господами Гюйгенсом и Лейбницем?
Если вам нужны были доказательства, что математики тоже люди, вот они. Однако семейные распри отнюдь не мешали различным Бернулли получать великолепные математические результаты. В первые же годы после эпизода с цепной линией Якоб, Иоганн и Даниил Бернулли (1700–1782) не только решили похожие задачи о провисающих веревках, но и внесли уточнения в теорию дифференциальных уравнений в целом и решили задачу о движении снарядов в сопротивляющейся среде.
История о цепной линии открывает перед нами еще одну сторону могущества математики: математические решения есть даже у тривиальных на первый взгляд физических задач. Кстати, форма цепной линии и в наши дни приводит в восторг миллионы посетителей знаменитых Ворот Запада в Сент-Луисе, в штате Миссури. Это сооружение, ставшее символом города и штата, финско-американский архитектор Ээро Сааринен (1910–1961) и германо-американский инженер-строитель Ханскарл Бандель (1925–1993) спроектировали в форме, близкой к очертаниям перевернутой цепной линии.
Ошеломляющие успехи физики в открытии математических законов, которые управляют поведением мироздания в целом, заставили задаться неизбежным вопросом, не лежат ли подобные принципы также в основе биологических, общественных или экономических процессов. Математикам стало интересно, служит ли математика языком только природы – или человеческой природы тоже? И если подлинно универсальных принципов все же не существует, можно ли при помощи математического инструментария хотя бы моделировать, а следовательно, и объяснять общественное поведение? Поначалу многие математики были убеждены, что «законы», основанные на той или иной версии математического анализа, позволят точно предсказать все события в будущем, и большие, и малые. Такое мнение разделял, например, великий физик и математик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827). Пять томов «Mécanique céleste» («Небесной механики») Лапласа предлагают первое полное, хотя и приближенное, решение задачи о движении планет и спутников Солнечной системы. Кроме того, именно Лаплас ответил на вопрос, который ставил в тупик самого Ньютона: почему Солнечная система так стабильна? Ньютон полагал, что планеты из-за взаимного притяжения должны неминуемо упасть на Солнце или разлететься в свободное пространство – и поэтому нужна длань Господня, чтобы Солнечная система осталась целой и невредимой. Лаплас придерживался несколько иных представлений. Он не полагался на вмешательство самого Господа, а просто доказал математически, что Солнечная система стабильна на протяжении периодов времени гораздо более длительных, чем предсказывал Ньютон.
