Рафаель Роузен - Математика для гиков

Числа управляют Оскаром. С момента первой церемонии награждения Американской киноакадемии в 1929 году было выдано более трех тысяч статуэток. Спонсор мероприятия, Академия кинематографических искусств и наук, имеет примерно 6000 членов. А фильмами с наибольшим количеством номинаций являются «Все о Еве» и «Титаник», у каждого фильма было по 14 номинаций.

2.4. Остаться сухим во время дождя

Математические понятия: фигуры, арифметика

Классический случай, где появляется математика – разгар ливня с ураганом. Допустим, что вы попали под ливень и у вас нет с собой зонта. Что вы должны сделать, чтобы как можно меньше намокнуть? Стоять без движений, конечно, не вариант. Вы просто промокнете до нитки. Кажется, что двумя самыми реалистичными вариантами будут пойти или бежать до ближайшего укрытия. Если вы пойдете, то кажется, что вы промокнете больше, так как дольше будете находиться под дождем. А если побежите, то промокнете больше, так как столкнетесь с большим количеством капель во время бега. Каков же ответ?

Математика поможет нам разобраться. Для начала давайте переформулируем проблему, чтобы нам было легче с ней справиться. Во-первых, вместо реального человека представьте человека в виде трехмерного прямоугольника (как огромный кирпич). Во-вторых, представьте, что дождь льет с постоянной интенсивностью, то есть нет внезапных сильных потоков дождя и перебоев. В-третьих, поставим условие, что дождь идет прямо, то есть под прямым углом относительно земли. Теперь у нас замечательные простые условия, с помощью которых мы можем решить эту задачу.

Давайте определим, сколько дождя – какой объем дождя, если быть точнее – упадет на голову человека-кирпича (которая является плоской поверхностью). Так как мы знаем, что дождь падает под прямым углом с постоянной интенсивностью, то по мере того, как человек-кирпич будет идти или бежать вперед, дождь будет падать на поверхность с постоянной интенсивностью. У этой постоянной интенсивности есть удивительное последствие: неважно, бежит ли человек или идет, он будет двигаться под одинаковым количеством дождя. Вы можете представить эти объемы дождя так, же в виде трехмерных прямоугольников: прямоугольник дождя, который падает на стоящего человека, выглядит как обычный прямоугольник; прямоугольник дождя, который падает на идущего или бегущего человека, будет косым. Но – и это решающая часть – объемы обычного и косого прямоугольников одинаковы. (Посчитайте объем трехмерного параллелограмма, а правильнее будет назвать его параллелепипедом, умножив длину на высоту и на ширину.) И так как поверхность человека всегда остается одинаковой (как и объем идущего дождя), объем воды, с которым человек сталкивается во время ходьбы или бега, одинаковый.

Если бы мы хотели узнать общий объем воды, который вылился на человека во время ливня, мы могли бы написать следующее уравнение:

Общий объем = [время, проведенное под дождем × скорость дождя] + [расстояние до убежища × скорость дождя]

Так как расстояние между вами и убежищем не меняется, единственным способом намокнуть по минимуму – это провести под дождем как можно меньше времени. А добиться этого можно, только если бежать как можно быстрее.

Алессандро де Анджелис, физик из Университета в Удине в Италии, установил, что если человек бежит, а не идет во время ливня с неизменными переменными, то он останется более сухим на 10 %. Итак, в 1987 году в Европейском журнале физики было опубликовано исследование, в котором он сделал вывод, что лучше идти и не тратить лишнюю энергию, так как разница была не очень очевидной.

2.5. Самая эффективная очередь в кассу

Математическое понятие: теория очередей

Покупки в магазине могут быть полны всякого рода раздражений. Чья-то тележка может загораживать прилавок. Ваши любимые хлопья могли закончиться. И где найти хумус?

Но самым худшим раздражением, которое может закрасться вам в самую душу и начать отравлять весь ваш организм, является ожидание в очереди на кассу. И вот вы стоите с тележкой, полной колбасы, макарон и яблок, и перед вами выбор самой быстрой, по вашему мнению, кассы. Но как только вы делаете выбор, очередь, как вам кажется, перестает двигаться благодаря одному покупателю, который ищет мелочь. Теперь все другие очереди движутся быстрее вашей. И почему вам всегда кажется, что очередь, которую выбрали вы, никогда не является самой быстрой?

Есть раздел математики, который как раз занимается этим вопросом. Он называется теорией очередей и берет свое начало в Копенгагене в первой декаде XX века. Инженер и математик Агнер Краруп Эрланг пытался выяснить минимальное количество телефонных линий, необходимых в городе, чтобы проходило большинство звонков. (В этот исторический период соединение осуществлялось людьми, которые вставляли разъем в отверстие для каждого звонка.) Телефонные компании хотели избежать приобретения слишком маленького количества телефонных линий, что могло вызвать задержки, если много человек совершали звонки в одно время, или слишком большого количества телефонных линий, что значило бы, что компания заплатила за оборудование, которое ей не нужно.

Имя Эрланга навсегда связано с телефонией: эрланг – это единица телефонной нагрузки или телекоммуникационного трафика, используемая для определения объема трафика. Его открытия применяются и за пределами телефонных сетей, включая дорожное дело, Интернет и строительство фабрик.

Но вы, скорее всего, сталкивались с теорией очередей во время выполнения своих дел. Математики обнаружили, что если посетители формируют извилистую очередь в форме «змейки» и их посылают на следующую освободившуюся кассу, то время ожидания может быть радикальным образом сокращено. (Такой вид очереди можно встретить в некоторых банках, когда люди ждут своей очереди к кассиру, или в некоторых магазинах.) В отличие от традиционной очереди, в которой один медлительный человек или кассир может задержать всю очередь, очередь в форме «змейки» обеспечивает минимальное время ожидания, так как медлительный человек все еще может тянуть время на кассе, но в это время другие посетители могут проходить на другие кассы. Задержки неизбежны, но в целом последствия будут не такими плохими.

Когда перед человеком встает выбор – очередь справа или очередь слева, – некоторые считают, что левый маршрут будет быстрее. Это потому, что у 90 % населения основная рука – правая, поэтому они инстинктивно идут направо. Это могут быть выдумки, но если вы стоите в очереди в парке развлечений, то стоит попробовать пойти в левую очередь.

2.6. Как подготовиться к тесту Тьюринга

Математическое понятие: тест Тьюринга

Если вы видели фильм 1982 года «Бегущий по лезвию», вы помните эту сцену, где мужчина сидит за столом и сквозь облако сигаретного дыма пытается понять, кто сидит за другим концом стола: мужчина или робот. Кажется, эту идею – тест на наличие сознания – можно найти лишь в научной фантастике XX века, но, по правде говоря, она существует вот уже сотни лет. Рене Декарт упоминает ее в своей книге «Рассуждение о методе» (1637), где он утверждает, что если перед вами машина, которая выглядит и ведет себя как человек, вы все равно сможете отличить, что он ненастоящий.

1. Во-первых, машина не сможет убедительно говорить во многих ситуациях, то есть, другими словами, она никогда не сможет выйти за рамки запрограммированной речи.

2. Во-вторых, она никогда не сможет вести себя универсальным способом. (Декарт имеет в виду, что машины обычно специализируются на одной задаче, например сварке или печати. А так как они создаются для ограниченного числа целей, у них нет способности взаимодействовать с миром творчески и спонтанно.)

Однако самый подробный пример процедуры, которая могла отличить машину от живого существа, обладающего разумом, был представлен в 1950 году в работе Алана Тьюринга, британского математика и криптографа, который во время Второй мировой войны взломал код немецкой шифровальной машины «Энигма». Его работа «Вычислительные машины и разум» содержала тест, который помог бы ответить на вопрос: «Может ли машина обладать разумом?»

Так как трудно точно определить, что есть мысль и что включает в себя размышление, Тьюринг предложил другой путь в решении проблемы. Его тест, который сначала назывался «Игра в имитацию», определяет вместо этого, может ли машина обмануть человека так, чтобы тот подумал, что разговаривает с машиной. В этой игре ведущий беседу человек сидит в одной комнате, а в двух других сидят машина (скажем, что это компьютер) и другой человек. Ведущий беседу человек может посылать сообщения в текстовой форме и компьютеру, и человеку. И компьютер, и человек могут отвечать ему. Задача спрашивающего – выяснить, кто из них человек, а кто машина. Если он за одну треть времени не может определить правильно, где машина, а где человек, то машина проходит этот тест. Согласно Тьюрингу, если машина проходит тест, то справедливо утверждать, что она обладает интеллектом. (В конце концов, не через умение ли общаться мы определяем, что другие люди обладают разумом?)