Рафаель Роузен - Математика для гиков

В некоторых проекциях, включая проекцию Меркатора, относительные величины континентов искажены. Проекция Галла – Петерса, названная в честь Джеймса Галла и Арно Петерса, пытается скорректировать некоторые искажения, тем самым относительная величина континентов получается более точной. Вы можете помнить знаменитый эпизод «Западного крыла», где эту проекцию поддержала выдуманная Организация картографов за социальное равенство.

1.29. Упаковка M&M’s

Математическое понятие: комбинаторика

Математика может показаться сложной и не связанной с повседневной жизнью, но вы можете столкнуться с ней в самых банальных местах. На самом деле, связь с математикой XVII века можно проследить в отделе сладостей в вашем ближайшем магазине.

В 1611 году Иоганн Кеплер, который стал известен благодаря открытию законов движения планет (см. главу 1.20), высказал гипотезу, согласно которой, если вы используете частицы в форме шара, то нет лучшего способа заполнить пространство, чем сложить шары так, как складывают апельсины на рынке. (Она еще известна как гипотеза Кеплера.) Используя эту технику, которая называется гранецентрированная кубическая упаковка, человек может заполнить примерно 74 % данного пространства. Если шары заполняют банку бессистемно, то они заполняют примерно 64 % пространства.

Теперь перейдем к конфетам. Исследователи обнаружили, что частицы, которые выглядят как M&M’s – приплюснутые шары или сфероиды, – заполняют сосуд так же, как и шары. Если их сложить как апельсины, то они тоже заполняют примерно 74 % объема. Но если их насыпать в сосуд беспорядочно, то они выигрывают у шаров и заполняют 71 % пространства, а это намного больше, чем у шаров. Некоторые люди считают, что сфероиды эффективнее заполняют пространство, нежели шары, так как они могут переворачиваться, пока не попадут в конфигурацию, которая использует больше пространства. Другие фигуры показывают еще лучший результат. Беспорядочно насыпанные эллипсоиды – похожи на мячи для американского футбола или на миндаль в шоколаде, если вам так больше нравится, – могут заполнить до 74 % объема.

Кеплеру так и не удалось доказать свою гипотезу, однако Гаусс смог предоставить неполное доказательство в 1800-х. Последний шаг в доказательстве был сделан в 1990-х, когда математик Томас Хейлс использовал компьютерную программу, которая и помогла доказать гипотезу. Но доказательство оказалось таким длинным – несколько сотен страниц, – что он воспользовался компьютерным алгоритмом, чтобы проверить его!

В 1995 году ярые любители сладости проголосовали за добавление нового цвета в упаковку M&M’s. Выиграл синий цвет, который набрал 54 % голосов. (Всего было отдано 10 миллионов голосов.) Среди финалистов также были розовый и лиловый цвета.

1.30. Танграмы

Математические понятия: фигуры, геометрия

Если вы любите игры, то можете увлекаться танграмами, головоломкой из Китая. Некоторые люди считают, что она возникла тысячи лет назад, хотя первое опубликованное доказательство появилось в 1813 году. Классический набор танграм состоит из семи фигур: двух больших треугольников, среднего треугольника, двух маленьких треугольников, одного квадрата и одного параллелограмма (прямоугольника, у которого две короткие стороны наклонены в одну сторону). Все треугольники являются прямоугольными, то есть один угол в каждом треугольнике равен 90 градусам. Фигуры могут быть сделаны практически из любого материала, включая дерево, пластик, стекло или панцирь черепахи. На самом деле, вы сами можете сделать свой набор танграм с помощью бумаги, карандаша, линейки и ножниц.

Целью игры является сложить семь деталей, чтобы получить сложную фигуру, такую, как человек или животное. (Набор танграм обычно содержит книгу с возможными фигурами.) Детали не должны перекрывать друг друга, и край одной детали должен касаться края как минимум одной другой детали.

Связь между таграмами и математикой очевидна: фигуры пришли из геометрии, раздела математики, который изучает линии, точки и углы. Но танграмы наводят и на более глубокие математические размышления. Некоторые математики задавались вопросом, сколько фигур можно сложить из семи деталей набора танграм. Но в голове у них были вовсе не фигуры овец или моряков. Вместо этого они думали о выпуклых многоугольниках, таких фигурах, как пятиугольники и квадраты, у которых есть три или более сторон и ни одна сторона не наклоняется в сторону центра. Математики обнаружили, что игрок может создать из семи деталей 13 выпуклых многоугольников: два пятиугольника, шесть четырехугольников, один треугольник и четыре шестиугольника. Головоломка простая, но, как и многое в математике, имеет глубокий аспект, который не сразу виден.

Не все наборы танграм состоят из треугольников и прямоугольников. Один вид – яйцо Колумба – сначала предстает двухмерной фигурой. Потом его делят на детали, у некоторых из них изогнутые края.

1.31. Бархатные канаты как математическая категория

Математическое понятие: цепная линия

Если вы поедете в Сент-Луис в Миссури, вы не сможете не увидеть «Ворота Запада», это громадная постройка из стали и бетона, которая достигает в высоту 630 футов. Достроенная в 1965 году арка символизирует историческую роль Сент-Луиса в качестве ворот на запад для тех, кто колонизировал Северную Америку. Арку можно также рассматривать как дань уважения математике, так как ее форма напоминает цепную линию, своего рода арку, которая образовывается, когда цепь прикрепляют к двум стойкам с обеих сторон, и при этом она ниспадает к земле. (Если быть более точным, то «Ворота Запада» – это перевернутая версия почти цепной линии.) Цепные линии вы можете увидеть в линиях электропередачи между вышками и в форме тяжелого троса, который держит корабль в порту. Вы также можете их увидеть в виде бархатных канатов, которые ограждают людей, стоящих в очереди в кино или на концерт.

Цепные линии похожи на параболы – другой вид кривых, – но уравнение для них было получено лишь в 1691 году тремя математическими титанами: Христианом Гюйгенсом, Якобом Бернулли и Готфридом Лейбницем.

Перевернутые цепные линии часто встречаются в архитектуре, придавая красоту и грацию разным пространствам. Их можно увидеть, например, под террасой «Дома Мила» Антони Гауди, а еще они поддерживают крышу Зимнего сада Шеффилда в Южном Йоркшире в Великобритании.

1.32. Как подвесные мосты выдерживают машины?

Математические понятия: фигуры, физика

Представьте прекрасное архитектурное сооружение, и вы, вероятно, подумаете о цепном мосте. Эти парящие конструкции узнаваемы благодаря кабелям, которые не только выглядят красиво, но и выполняют важную задачу: они поддерживают проезжую часть, которая проходит под ними. Эти волнообразные кривые также являются примерами парабол, форм, знакомых математикам и которые можно найти во многих местах физического мира.

Если вы помните декартову систему координат из уроков геометрии, то вы также помните, что можете построить параболу с помощью уравнения y=х². Или вы можете помнить, что парабола относится к классу фигур, известный как коническое сечение, которое образуется, когда плоскость, как лист бумаги, пересекает круговой конус разными способами. (На уроках физики вы, возможно, учили, что кабели передают силу тяжести, оказываемую тяжелой дорогой и машинами на башни моста, которые направляют эту силу вниз в землю.) Кабели также имеют форму парабол отчасти из-за дороги и движения по ней. Без этого веса кабели могли бы принять форму больше похожую на цепные линии, то есть форму, которую принимают такие висячие объекты, как веревки, когда единственной силой, которая на них действует, является гравитация (см. главу 1.31).

Естественно, не во всех мостах есть кабели. Некоторые мосты содержат такие структурные компоненты, как фермы. Они обычно сооружаются из множества компонентов, обычно треугольников, которые соединены так, что вся конструкция ведет себя как единое целое.

2. Часть 2. Поведение

2.1. Почему автобусы подъезжают группами?

Математическое понятие: теория хаоса

Если вы живете там, где ходят автобусы, вы, наверное, замечали, что иногда стоите на остановке намного дольше, чем рассчитывали, а автобусов все нет и нет. Вы смотрите на горизонт, ваша нога нервно стучит по асфальту, и вдруг видите два подъезжающих автобуса. «Черт! – вскрикиваете вы. – Почему они не могут приезжать равномерно? Что не так с транспортной системой в этом идиотском городе?»