Рафаель Роузен - Математика для гиков

2. Часть 2. Поведение

2.1. Почему автобусы подъезжают группами?

Математическое понятие: теория хаоса

Если вы живете там, где ходят автобусы, вы, наверное, замечали, что иногда стоите на остановке намного дольше, чем рассчитывали, а автобусов все нет и нет. Вы смотрите на горизонт, ваша нога нервно стучит по асфальту, и вдруг видите два подъезжающих автобуса. «Черт! – вскрикиваете вы. – Почему они не могут приезжать равномерно? Что не так с транспортной системой в этом идиотском городе?»

Но оказывается, автобусы группируются не потому, что проблема в транспортной системе. На самом деле, это просто неизбежно. Представьте два автобуса, которые выезжают из автобусного парка рано утром в начале смены. Допустим, они выезжают оттуда с десятиминутным интервалом. Если бы автобусу нужно было подъехать к остановке, подождать определенное количество времени и уехать, то они бы не группировались. Но, естественно, на каждой остановке он должен набрать пассажиров, а время, которое нужно человеку, чтобы сесть в автобус, у всех разное. (Сравните пожилого человека с тростью и 10-летнего мальчика.) Более того, на некоторых остановках собирается огромное количество ожидающих пассажиров. (Возможно, эта остановка находится рядом со школой и каждый день примерно в 3 часа дня толпа учащихся выходит и ждет автобус, чтобы доехать до дома.) В любом случае, автобус может застрять в любой точке маршрута.

Если подумать об этом, то становится понятно, почему автобусы могут подъезжать по несколько штук. Когда одному автобусу приходится долго ждать, пока все пассажиры сядут, например, некоторые садятся медленнее, чем остальные, или группа ждущих пассажиров сама по себе большая, то увеличивается время, за которое автобус доедет до следующей остановки для сбора пассажиров, а значит, их станет больше. Потом когда автобус наконец приезжает на эту следующую остановку, все эти люди еще дольше садятся в автобус, а это значит, что на следующей остановке также будет больше людей. Этот процесс в сущности только становится хуже.

В это время автобус, который едет за отстающим автобусом, подъезжает на остановку и видит, что там его ждет очень мало пассажиров. Это потому, что большая часть уехала на предыдущем автобусе (отстающем). Так как ждущих пассажиров меньше, автобусу не надо долго ждать, пока все в него сядут. Поэтому он может трогаться сравнительно быстро, тем самым уменьшается время до прибытия на следующую остановку. И пока отстающий автобус едет все медленнее и медленнее, следующий автобус едет все быстрее и быстрее. В конце концов, этот автобус догоняет отстающий автобус, и они оба продолжают ехать по маршруту вместе (если только отстающий автобус не решит проезжать остановки, чтобы увеличить расстояние между ними).

Скопление автобусов – это пример теории хаоса, раздела математики, который изучает, как небольшие изменения при первоначальных условиях могут привести к непредсказуемым результатам в конечном итоге. В этом случае небольшие изменения во времени, которое люди тратят на посадку в автобус, значительно влияют на позицию автобуса в сравнении с другими автобусами этого маршрута.

Если вы слышали что-либо о теории хаоса, тогда вы, скорее всего, слышали и об эффекте бабочки. Впервые это понятие ввел математик Эдвард Лоренц в 1960-х. Он изучал погодные факторы и заметил, что маленькие отклонения в данных, которые вносят в модель прогнозирования погоды, имеют совершенно разные результаты. Согласно эффекту бабочки, ввод такой маленькой информации, как взмах крыла бабочки, может привести к такому резкому отклонению, как ураган.

2.2. Хватит просаживать деньги в казино

Математическое понятие: ошибка игрока

Вы любите азартные игры? Если любите, тогда вы могли сталкиваться с математикой, сами того не ведая, в форме ошибки игрока.

Давайте представим, что вы кидаете кости. Каждая игральная кость имеет шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – поэтому вероятность выпадения каждой цифры равна 1:6. Допустим, что вы бросили кость десять раз. И представим, что у вас выпали следующие результаты:

Обычно люди думают, что если цифра шесть еще не выпала, то вероятность ее выпадения в следующий раз выше, чем если бы она выпала, допустим, три раза во время предыдущих десяти попыток. «У меня еще не было шести, – кто-то может подумать про себя, – поэтому она выпадет в ближайшие попытки». Но на самом деле вероятность выпадения цифры шесть ничем не отличается от вероятности ее выпадения во время первых десяти попыток. Ошибка – это логический ход мысли, она кроется в мысли, что предыдущие попытки влияют на будущие. Даже если вы бросили кость сто раз, и цифра шесть так и не выпала, то вероятность ее выпадения в следующих ста попытках все равно остается 1:6.

Ошибку игрока еще называют ложным выводом Монте-Карло, это название, возможно, возникло в один из вечеров в казино Монте-Карло в августе 1913 года. В ту ночь в рулетке выпал черный цвет 26 раз подряд. В ходе игры все больше и больше игроков ставили на красный, так как были уверены, что чем больше раз выпадает черный, тем выше вероятность выпадения красного. Но, естественно, вероятность выпадения черного или красного не зависит от количества игр. Согласно вероятности выпадения, каждое новое вращение рулетки является первым.

Математики и статистики иногда описывают ошибку игрока как веру в то, что неодушевленные предметы – такие, как рулетка или игральные кости – имеют память. Такая вера выливается в убеждение, что, зная свое «поведение» в прошлом, неодушевленные предметы могут приспособить свое будущее «поведение» согласно этому. Но, естественно у этих предметов нет памяти; каждое вращение рулетки или бросок костей абсолютно независимы (в случае, если оборудование не настраивали специальным образом). Поэтому имейте это в виду, когда решите делать на что-то ставки!

Другим примером ошибки является переход на личности, в котором характер человека берется как доказательство за или против какого-либо утверждения, когда как в реальности характер человека для истинности этого утверждения не имеет никакого значения. Например, допустим, что вы и другой человек спорили насчет смертной казни, и каждый из вас пытался доказать общему другу свою правоту. Представим, что ваш оппонент по спору недавно изменил жене. Если вы бы сказали третьему лицу: «Ты не должен всерьез воспринимать моего оппонента, так как он нарушил супружескую верность», – то вы бы совершили ошибку, перейдя на личности. Личная жизнь вашего оппонента никак не зависит от верности его аргументов.

2.3. Как фильм получает Оскар?

Математическое понятие: комбинаторика

Во время трансляции награды Американской киноакадемии друзья и члены семьи собираются около телевизора в ожидании конца премии, чтобы узнать, кто же выиграл в номинации «Лучший фильм года». Но как именно академия решает, кто выиграет? Оказывается, в процессе участвует математика в форме процедуры, которая называется рейтинговым голосованием.

Большинство людей знакомы с этим видом голосования: вы получаете список кандидатов и отмечаете имя того человека, которого хотели бы видеть победителем. Давайте представим, что это выборы президента. Официальное лицо просматривает бюллетени, подсчитывает голоса и определяет, кто набрал большее количество. Этот человек и становится президентом.

В рейтинговом голосовании голосующие ставят отметки у каждого имени в списке, а не только отмечают того, кто, по их мнению, должен выиграть. Если в списке пять имен, то голосующий ставит 1 тому человеку, которого он хотел бы видеть победителем, затем 2, кого он бы поставил на второе место, и так далее до пяти. Когда избирательная комиссия садится изучать бюллетени, она делает стопки для каждого из пяти кандидатов. Все бюллетени, на которых кандидат А находится на первом месте, помещаются в стопку кандидата А, все бюллетени, на которых на первом месте находится кандидат Б, идут в стопку кандидата Б, и так далее. Если одна из стопок набирает более 50 % голосов, то этот человек выигрывает. Если нет, то кандидат с наименьшим количеством голосов выбывает. Но процесс продолжается! Избирательная комиссия вновь просматривает бюллетени, теперь они смотрят на второе место в каждом бюллетени, и процесс повторяется. Все бюллетени, на которых кандидат А стоит на втором месте, собираются в стопку кандидата А, и так далее. Как и ранее, кандидат, набравший наименьшее количество голосов, выбывает из борьбы. Этот процесс повторяется с третьим и четвертым местами и ниже, пока один из кандидатов не наберет более 50 % голосов в стопке. Голосование не всегда такое простое, как кажется.

Числа управляют Оскаром. С момента первой церемонии награждения Американской киноакадемии в 1929 году было выдано более трех тысяч статуэток. Спонсор мероприятия, Академия кинематографических искусств и наук, имеет примерно 6000 членов. А фильмами с наибольшим количеством номинаций являются «Все о Еве» и «Титаник», у каждого фильма было по 14 номинаций.