Рафаель Роузен - Математика для гиков

Тест Тьюринга потрясающий, потому что он бросает вызов тому, что, по мнению большинства людей, влечет за собой мышление. Большинство людей скажет, что мышление происходит внутри чьего-либо мозга, что это скрытое действие, которое всегда невидимо для других людей. Но тест Тьюринга утверждает, что нам не нужен доступ к чьему-либо внутреннему миру, чтобы узнать, есть ли там разум.

Вопросы, которые задаются во время теста Тьюринга, не должны быть особенно сложными и глубокими. Обыденные и даже скучные вопросы тоже отлично подойдут. Например, недавно тест Тьюринга провели в Университете Рединга в Великобритании, компьютер спросили, какая была в тот день погода, какой у него был самый любимый предмет в школе и любит ли он футбол.

Однако тест поднимает больше вопросов, чем дает ответов. Неужели прохождение теста действительно говорит о наличии интеллекта или это просто показывает, что компьютерная программа успешно имитировала человека? Доказывает ли это, что эта программа – нечто большее, чем чисто механическая перестановка символов? И если мы утверждаем, что все, что происходит, – это переход электронов с одного места на другое, и за этим процессом нет ничего похожего на разум, как мы можем быть уверены, что то же самое не происходит внутри мозга человека?

Даже сегодня тест Тьюринга не потерял свою привлекательность. Тесты Тьюринга проводят каждый год; в 2014 году в России виртуальный собеседник Женя Густман прошел его, убедив 33 % судей, что он человек. Однако некоторые люди оспаривают эту победу: Женя был создан, чтобы имитировать 13-летнего мальчика из Украины, который выучил английский как второй язык.

Несмотря на достижения и в военное время, и в мирное, с Тьюрингом очень жестоко обошлись в Великобритании. Узнав о гомосексуализме Тьюринга – а это было уголовным преступлением в то время, – британское правительство арестовало его в 1952 году. Так как считалось, что гомосексуалистов могут шантажировать, его допуск к засекреченной информации был отозван, и ему предложили выбрать между тюремным заключением и инъекциями эстрогена, которые подавляли либидо. Он выбрал инъекции. Возможно, из-за того, как относилось к нему правительство, в 1954 году Тьюринг покончил жизнь самоубийством.

Тест Тьюринга показал возможности цифрового компьютера, который мог выполнять математические операции, используя чисто математические средства (см. главу 3.14). Цифровые компьютеры, конечно, являются прототипом сегодняшних ноутбуков и смартфонов, которые могут не только умножать, вычитать и прибавлять, но и выполнять сложные программы, такие, как Facebook и разного рода браузеры. Поэтому Тьюринг и его идеи помогли создать область искусственного интеллекта, которая находит отклик в научной фантастике и инженерных отделах по всей стране.

Недавно Алан Тьюринг проник в умы людей новым способом. В 2014 году вышел фильм «Игра в имитацию», который рассказал о нем. В главной роли снялся Бенедикт Камбербэтч, в фильме показан период, когда Тьюринг пытался расшифровать код «Энигмы» во время Второй мировой войны. В фильме показано, как он взломал код с помощью предшественника современного компьютера. Специальная техника, которой он пользовался, стала известна миру благодаря недавнему разглашению рассекреченных документов.

2.7. Что такое секстант?

Математическое понятие: геометрия

Если вы плывете на лодке в открытом океане, как вы определите, где находитесь? Чтобы усложнить задачу, давайте исключим использование GPS или всего, что связано с электричеством. (Google-картами пользоваться нельзя.) Проблема кажется непреодолимой, но мореплаватели веками определяют свое месторасположение, поэтому мы знаем, что это возможно. В чем секрет?

Ответ кроется в углах и геометрии. Для начала давайте вспомним, что делает этот вид навигации возможным. Если вы видели глобус, то знаете о линиях, которые его пересекают. Некоторые из них горизонтальные и располагаются над и под экватором (линия, которая опоясывает глобус по центру). Эти линии известны как линии широты. Другие линии вертикальны; они пересекают север и юг и пересекаются на Южном и Северном полюсах. Они известны как линии долготы. Чтобы узнать линию долготы, вам понадобятся часы, но нам интересно узнать широту. Это навигационный узел, который развязывается с помощью математики.

Решающим моментом будет осознание, что позиция солнца в полдень в любой день года зависит от вашей настоящей линии широты. Чем ближе вы к экватору, тем больше полуденное солнце приближается к углу в 90 градусов над вами. Чем дальше вы двигаетесь на Северный или Южный полюс, тем больше угол уменьшается, другими словами, когда вы отправляетесь на юг или на север, солнце появляется все ниже и ниже в облаках. Вы также можете применить эти принципы в обратном направлении. Если вы можете определить угол полуденного солнца относительно вас, то сможете узнать, на какой широте находитесь.

Вычисление этих углов – это работа секстанта, ручного измерительного инструмента, который выглядит как металлический кусок пирога со всякими прикрепленными к нему штуковинами. Одной из этих штуковин является зрительная труба. Чтобы воспользоваться секстантом, нужно посмотреть в трубу на небесное тело, например на луну, звезду или солнце (через фильтр, естественно). Изображение появляется на двух зеркалах. Потом вы двигаете алидаду, металлическую деталь, которая скользит по краю этого «пирога», пока изображение небесного тела на одном из зеркал не касается горизонта. На этом этапе вы смотрите на ту часть «куска пирога», на которой отмечены углы. Алидада будет указывать на угол. Этот угол может быть использован, чтобы определить широту, на которой вы находитесь.

Предположим, что 21 июня 2015 года вы отплыли на лодке от берега острова Рождества, австралийской территории около Индонезии в Индийском океане. Используя секстант, вы сможете определить, что солнце на 66 градусов выше горизонта. С помощью этой информации вы можете определить, что широта равна 10,48 градуса в Южном полушарии.

По существу, вы используете тригонометрию, которая изучает свойства треугольников, включая их углы, чтобы определить свое местоположение.

Если вы думали, что геометрия не имеет никакого отношения к вашей повседневной жизни, подумайте еще раз, особенно если вы окажетесь на лодке без электронных помощников посреди океана!

Первый настоящий секстант был изобретен Джоном Кэмпбеллом в 1757 году и был впервые использован по максимуму, включая и определение времени, исследователем капитаном Куком в 1768 году, когда он отправился в Новую Зеландию, чтобы нанести ее на карту.

2.8. Дележ аренды

Математические понятия: справедливый дележ, комбинаторика

Если у вас когда-либо были соседи по комнате, то вы знакомы с непростой задачей, стоящей перед тремя или четырьмя людьми, которым нужно поделить аренду дома или квартиры. Справедливо посчитать, кто сколько должен заплатить, может быть сложнее, чем это кажется. Задача трудная, так как комнаты очень часто отличаются друг от друга – например, в некоторых больше ламп, а в других больше пространства – и каждый человек может оценивать любой аспект по-разному. Как разделить комнаты и аренду, чтобы каждый остался доволен, а не завидовал соседу?

Эти проблемы попадают под категорию справедливого дележа и свойственны многим областям, включая математику, экономику, право и политику; справедливый дележ занимается разделением товаров так, чтобы каждая сторона получила справедливую долю. Разделение должно также происходить таким образом, чтобы ни одна сторона не захотела поменять свою долю товара на другую. Примеры справедливого дележа можно наблюдать при разводах, на аукционах и даже на войне.

В 1999 году Френсис Су, профессор математики из колледжа Харви Мадд, опубликовал исследование, в котором объяснил, как решить проблему справедливого дележа, используя лемму Шпернера, теорему, затрагивающую раздел математики, известный как комбинаторика (см. главу 1.26). Изначально лемма затрагивает треугольники. Возьмите треугольник и разделите его внутри на маленькие треугольники. Вы можете разделить его на любое количество треугольников; просто убедитесь, что они плотно прилегают друг к другу и между ними нет свободного пространства. Дальше обозначьте вершины большого треугольника цифрами 1, 2 и 3 так, чтобы каждая вершина была обозначена разными цифрами. На этом этапе заметьте, что углы некоторых треугольников меньшего размера касаются как минимум одной стороны большого треугольника. На каждом угле напишите цифру. На стороне между вершинами 1 и 2 отметьте каждый угол меньших треугольников 1 или 2. (Какую цифру вы поставите, зависит только от вас.) На стороне между вершинами 2 и 3 отметьте каждый угол 2 или 3, а на стороне между углами 3 и 1 отметьте каждый угол 3 или 1. Что касается углов внутри большого треугольника, вы можете отметить их цифрами 1, 2 и 3 в любом порядке. Лемма Шпернера утверждает, что там должен быть хотя бы один маленький треугольник с вершинами 1, 2 и 3. Их может быть больше чем один, но их всегда будет нечетное число.