Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

Рис. 8.10. Распределение Стирлинга (гистограмма) и Пуассона (ступеньки) для n = 100 000 становятся очень близки друг к другу

Таким образом, наш стохастический процесс с дедлайном можно рассматривать либо как пуассоновский на сгущающейся временной сетке, либо как неоднородный пуассоновский, интенсивность которого монотонно и стремительно растет. И хотя, строго говоря, наш процесс не пуассоновский, поскольку события в нем не независимы, нужные нам статистические свойства у них схожи. Об этом говорит и подмеченная ранее близость среднего значения и дисперсии распределения Стирлинга, характерная именно для пуассоновского распределения.

Этот вывод позволяет задать вопрос. Что, если добавить к построенному нами процессу выполнения цепочки дел какие-либо не зависящие от нас редкие неприятности: пургу, жуткую пробку, насморк, поломку принтера или всенародный праздник?

Для пуассоновского процесса определен процесс случайного прореживания, заключающийся в удалении событий из потока с какой-то известной вероятностью. Случайное прореживание с вероятностью (1 — p) оставляет процесс пуассоновским, но его интенсивность уменьшается, умножаясь на p. События, соответствующие совпадению неприятности и какого-либо этапа выполнения работы, сами образуют пуассоновский процесс — с существенно меньшей интенсивностью, но в нашем случае также монотонно и стремительно растущей. Так стремительно, что, какой бы малой ни была вероятность неприятности, для достаточно большого числа дел (или срока, отведенного на работу) ближе к дедлайну она может увеличиться до вполне наблюдаемой. И принтер забарахлит именно накануне сдачи курсовика! Разумеется, это работает для достаточно длинных цепочек.

Не удивляйтесь, если автобус сломается именно тогда, когда вы уже опаздываете. Он не желает вам зла. Просто если вы девушка, то последовательность дел: выбрать платье, съесть конфетку, умыться, надеть выбранное платье, накраситься, надеть цепочку, переложить вещи из сумочки в клатч, почистить туфли и прочее… подходит к самому главному и волнительному дедлайну — к свиданию! И темп, с которым вы летите навстречу судьбе, уже настолько сумасшедший, что начинают происходить самые маловероятные чудеса. В конце концов, а что же такое чудо, как не реализация невероятного!

Глава 9. Термодинамика классового неравенства

Среди экономистов реальный мир зачастую считается частным случаем.

Современная экономика — большая, серьезная, но своеобразная наука. Несомненно, она жизненно необходима как дисциплина, изучающая реальное и важное явление нашего мира — экономическую действительность. Она стремится к доказуемости и формализации, в ней много математики, подчас сложной и интересной. Однако, открыв серьезный экономический учебник, вы, скорее всего, обнаружите какие-то сравнительно несложные выкладки, готовые рецепты и тонны неформальных рассуждений в таком духе: «…но на самом деле все может быть не так и вообще как угодно, если на то будет воля ключевых игроков или правительства». В конце концов порой складывается ощущение, что в этой дисциплине интуиция, знание психологии и умение воспринимать общий контекст важнее, чем точный расчет и скрупулезное рассмотрение деталей (речь об экономике, а не о бухгалтерии). Наконец, в наше время почти половина липовых диссертаций пишется именно по экономике, а значит, не так уж и сложно наукообразно рассуждать на подобные темы. Попробуем и мы свои силы на этом поприще, благо нигде так остро не воспринимается несправедливость этого мира, как в вопросе распределения богатства. К тому же чем бы ни занимался человек, какой бы профессией ни владел, он вовлечен в экономику и ее игры. От ее законов, как и от законов физики или математики, никуда не спрятаться.

Из всей массы задач, решаемых математической экономикой, мы рассмотрим лишь одну — как выходит так, что даже при равных условиях для всех участников рынка и справедливом обмене средствами бедных становится больше, чем богатых, и почему даже идеальное математическое общество склонно к финансовому неравенству. Ну и, конечно, узнаем кое-что новое и полезное о распределениях случайных величин.

Как говорить об экономике?

На протяжении всей книги мы задаем себе одни и те же вопросы. Как рассуждать о том или ином предмете, чтобы наши слова имели смысл? Какую математическую структуру стоит использовать для моделирования интересующего нас объекта?

Я физик по образованию и по профессии. Моя профессиональная деформация выражается в своеобразном взгляде на мир как на множество разнообразных физических систем и процессов. С точки зрения физика, реальный рынок — существенно нестационарная открытая система со множеством степеней свободы, в которой важную роль играют стохастические (случайные) процессы. В этом смысле он похож на предмет изучения таких разделов физики, как термодинамика и статистическая физика, в которых, ввиду невозможности рассмотреть всё неисчислимое количество деталей и поведение всех составляющих частей системы, переходят к обобщающим и измеримым ее свойствам, таким как энергия, температура или давление. Неудивительно, что попытки термодинамического описания экономических систем и создания такой смежной дисциплины, как эконофизика, предпринимаются уже более ста лет. Но вот беда: пока ученые рассматривают детали, обобщают полученные знания и ведут споры о фундаментальных законах, основной объект изучения — экономическая действительность — успевает поменяться до неузнаваемости. Ее поведение как будто стремится сохранить, а то и увеличить свои неопределенность и непредсказуемость.

Хорошим примером служит двухвековая история использования технического анализа при игре на фондовой бирже. Когда появляется новый мощный инструмент, позволяющий нащупать скрытые закономерности и предсказать курс ценной бумаги или акции, он начинает приносить прибыль тем, кто его использует. Но вскоре рынок «чувствует» новых игроков и подстраивается под их стратегию, тогда точность предсказаний нового замечательного метода падает. Спустя какое-то время он попадает в длинный список устаревших и не слишком надежных инструментов. Ни современные гибкие самообучающиеся нейросетевые алгоритмы, ни сверхскоростные роботы-трейдеры, совершающие миллионы операций в минуту, не поменяли за минувшие два десятилетия основное свойство биржевой игры — ее непредсказуемость. И до сих пор основными достоинствами профессионала в этой отрасли остаются воля, выдержка характера, несклонность к азарту… ну или владение биржей. Всё как в казино, где игры основаны на чистой случайности! С одной стороны, это, конечно, обидно, а с другой — дает повод постоянно совершенствовать методы и подходы.