Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
Новая экономическая политика
Вновь рассмотрим группу из n человек и раздадим всем участникам эксперимента по равной денежной сумме — по m рублей каждому, получив самое справедливое в мире шариковское распределение средств в обществе. После раздачи в нашей системе будет находиться M = nm денежных единиц. Теперь предоставим им свободу богатеть и беднеть по воле собственной судьбы, согласно следующей примитивной модели рынка. Попросим кого-нибудь, выбранного случайно, отдать один рубль любому человеку из группы, также выбранному случайно. Можно счесть это приобретением некой услуги по фиксированной цене Δm = 1. Распределение богатства ожидаемо изменится: у кого-то денег станет меньше, у кого-то больше. Станем повторять эту процедуру снова и снова и посмотрим, как будет изменяться распределение богатства в группе.
Пусть вас не смущает нереалистичная примитивность описанной нами модели. Ее достоинство в том, что она требует минимальной априорной информации и соответствует некоторой базовой системе. Если мы обнаружим какие-то закономерности на этой модели, то они проявятся и в более сложных моделях.
Разумно перед проведением эксперимента поразмыслить, что же мы ожидаем увидеть. Получение денег участниками происходит равновероятно, как в случае пуассоновской стратегии раздачи, но в то же время игроки и теряют деньги, причем по такому же пуассоновскому принципу и с той же интенсивностью. Если вместо одного шага мы будем рассматривать сразу сотню, то вместо фиксированного количества денег участники группы будут обмениваться какими-то случайными суммами. Из опыта с пуассоновской раздачей денег следует заключить, что как положительные, так и отрицательные приращения будут распределены практически нормально и расположены симметрично относительно нуля. Каждый игрок в итоге будет получать разность этих приращений, которая для двух нормально распределенных случайных величин будет тоже нормально распределена[39], в данном случае вокруг нуля, поскольку потери и выигрыши симметричны (рис. 9.4).
Рис. 9.4. После множества обменов каждый игрок получит и потеряет суммы, которые подчиняются распределению, близкому к нормальному. Суммарный доход также будет нормально распределен вокруг нуля
Таким образом, мы получаем классическое случайное блуждание с нормально распределенными приращениями. Нам уже знаком этот процесс, окрашивающий жизнь в темные и светлые полосы. Поведение множества случайно блуждающих частиц подобно диффузии: их плотность будет расплываться гауссовым колоколом вокруг неизменного среднего значения, увеличивая дисперсию пропорционально квадратному корню из числа обменов (времени). Вроде бы все просто. Если нет каких-то механизмов, сдерживающих эту диффузию, колокол расплывется по всей числовой оси. Таким же образом диффузия выравнивает неоднородности концентрации веществ в некотором замкнутом объеме или теплообмен распределяет температуру в изначально неравномерно нагретом стержне.
Но есть нюанс. Если по каким-то причинам у кого-либо из группы не осталось средств, он не сможет приобретать услуги, отдавая деньги, но по-прежнему может получать их. Возможное значение благосостояния ограничено слева нулем, а это значит, что диффузия богатства не сможет распространяться во все стороны бесконечно и наблюдаемая функция вероятности рано или поздно перестанет быть симметричной.
Есть еще один нюанс. Количество денег в нашей замкнутой системе ограничено и неизменно; это значит, что случайные блуждания не независимы. Какой-нибудь везучий игрок сможет получить очень большие суммы и уйти от ансамбля очень далеко, но только если общая масса настолько же обеднеет. Участников эксперимента стягивает невидимой сетью закон сохранения денежной массы в системе. К чему же будет стремиться распределение богатства в таких условиях? Похоже, ответ не столь очевиден, как может показаться на первый взгляд. Обратимся к имитационному моделированию и посмотрим, что у нас получится.
Для любопытных читателей, которые захотят сами провести этот эксперимент, приведу алгоритм процесса перераспределения денег для фиксированного Δm, равного для всех участников группы (рис. 9.5).
Рис. 9.5. Результат имитационного моделирования процесса перераспределения для фиксированного Δm для т = 100 рублей и n = 5000 человек. a — 10 шагов, b — 5000 шагов, c — 5∙1010 шагов, d — 108 шагов алгоритма
Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m.
Повторять для каждого i от 0 до n
· · · · если xs[i] > 0
· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n
xs[i] <- xs[i] — 1
· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + 1
Сначала действительно наблюдается явление, подобное диффузии, однако по мере достижения левой границы распределение искажается и начинает стремиться к характерной несимметричной форме. Если эту книгу читает физик, то он сможет уверенно предположить, что это может быть за распределение: он назовет его распределением Гиббса. Внимательный читатель вспомнит, что мы уже встречались с ним, когда изучали фрустрацию во время ожидания автобуса. Тогда мы рассматривали распределение интервалов между пуассоновскими событиями, которое описывалось экспоненциальным распределением. Оба этих проницательных господина будут правы, называя разными именами одно и то же замечательное распределение.
Люди — молекулы
Распределение Гиббса — из области статистической физики. Здесь описываются свойства систем, называемых красивым словом «ансамбль», которые состоят из великого множества взаимодействующих элементов — чаще всего физических частиц. Под частицами понимаются такие объекты (или их модели), внутренняя структура которых несущественна: на первый план выходит взаимодействие между ними. В ансамбле можно выделять произвольные подсистемы (например, отдельные частицы или их группы) и ставить им в соответствие некие функции состояния (это могут быть обобщенные
