Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

в подсчете, ведь 31 так близко к 32 (попробуйте сами нарисовать и сосчитать эти области). Забавно то, что десятый член ряда опять равен степени двойки. Понять, откуда эти степени взялись и почему ряд начинается столь многообещающе, поможет хорошо известный арифметический треугольник, или треугольник Паскаля. Его элементы — биномиальные коэффициенты, а сумма всех чисел каждого ряда в точности равна степени двойки (это обстоятельство используется для нормировки функции вероятности биномиального распределения). Поскольку число областей, на которые разбивается круг, выражается суммой пяти первых биномиальных коэффициентов (на рис. 8.4 они выделены черным цветом), первые пять таких сумм содержат в себе полные ряды в треугольнике, однако начиная с шестого ряда суммирование идет не по всем коэффициентам. Отсюда и взялось «коварное» число 31. В десятом же ряду первые пять коэффициентов составляют ровно половину ряда, общая сумма которого равна степени двойки (29), и, значит, половина тоже будет степенью двойки. Если где-то еще они и встретятся, то это уже будет случайным совпадением.

Рис. 8.4. Треугольник Паскаля

Ричард Ги из Университета Калгари в 1988 году опубликовал статью, озаглавленную «Сильный закон малых чисел»[37], в которой приводит и этот пример (с полным доказательством), и теорему, достойную иных законов подлости:

Просто посмотреть недостаточно.

В ней есть еще более трех десятков примеров последовательностей и «фактов», которые выглядят многообещающими, но никак не могут быть законами.

Мне очень понравился такой пример: при использовании знаменитого метода Евклида для доказательства бесконечности ряда простых чисел последние получаются не всегда. Здесь речь о том, что, предположив конечность ряда простых чисел, мы можем вычислить произведение всех членов этого ряда, увеличить его на единицу и получить число, превышающее все имеющиеся, но не делящееся ни на одно из них. Можно подумать, что произведение нескольких первых простых чисел, увеличенное на единицу, всегда порождает простое число, и убедиться в этом на нескольких примерах.

2 + 1 = 3

(2 × 3) + 1 = 7

(2 × 3 × 5) + 1 = 31

(2 × 3 × 5 × 7) + 1 = 211

(2 × 3 × 5 × 7 × 11) + 1 = 2311

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 59 × 509.

Последний, да и последующие примеры дают осечку! Получается, доказательство Евклида неверно? Нет, оно совершенно справедливо, поскольку ничего не говорит о простоте результата, но утверждает существование числа, не делящегося ни на одно из полного (по нашему предположению) множества простых чисел. Число 30 031 и вправду не делится ни на одно из перемножаемых чисел. Позже, в 1990 году, тот же Ричард Ги выпустил в свет еще одну статью «Второй сильный закон малых чисел»[38], в которой приводит еще полсотни примеров последовательностей, ломающих интуицию математика!

Воспетая мной математическая интуиция без строгого доказательства может сыграть злую шутку. Более того, и в строгое, но очень сложное доказательство может вкрасться незаметная коварная ошибка, чему есть множество примеров. Обязательно прочтите чудесную книгу «Великая теорема Ферма» Саймона Сингха, чтобы почувствовать, с какими поистине циклопическими законами подлости приходится иметь дело в большой математике. Но удивительное дело: именно эти примеры и рассказы вдохновляют меня на добросовестный поиск математической истины там, где вполне хватило бы наблюдения или приблизительного результата.

Быстрее, еще быстрее!

Давайте теперь исследуем само явление цейтнота и его выматывающие свойства. Для этого обратимся к методу Монте-Карло и построим несколько тысяч стохастических цепочек, после чего усредним их, получив некую гладкую функцию. Она показана сплошной линией на рис. 8.5 и представляет собой математическое ожидание случайной функции, описывающей наш нестационарный стохастический процесс. Назовем эту случайную функцию темпом выполнения работы.

Рис. 8.5. Множество стохастических цепочек с дедлайном и ожидаемый темп выполнения работы

В предыдущей главе мы говорили о таких функциях, рассматривая очень простой случай стационарных процессов с неизменной интенсивностью. Сейчас же мы видим иную картину. Наша функция имеет переменную дисперсию, уменьшающуюся ближе к дедлайну. Это говорит о том, что последовательности, порождаемые случайной функцией, при приближении к правому краю сливаются и становятся неотличимы друг от друга.

Обратите внимание на то, что оси графика приведены к общему числу дел и всему отпущенному времени. Это, с одной стороны, позволяет нам сравнивать как разные сроки, так и различные по длине цепочки, а с другой — мы опять получили что-то подобное кривой Лоренца: некое формализованное отражение несправедливости.

Наблюдаемый темп, увы, очень неравномерен: в первую половину срока будет сделано едва ли 10 % работы, а добрую половину всех дел придется выполнять, имея в распоряжении менее 10 % времени. Но главная особенность: темп, вернее его наклон, стремительно увеличивается при приближении к дедлайну! Мы получили модель предновогоднего ража или паники в преддверии годового отчета, а также нащупали закон подлости, знакомый всякому, кому приходилось организовывать концерт, костюмированный вечер или иное мероприятие:

Сколько бы времени ни было отпущено на подготовку мероприятия, бо́льшая часть дел останется на последнюю ночь!

Прекрасные живые примеры таких процессов описаны, например, в рассказах Карела Чапека «Как делают газету» и «Как ставится пьеса». Неужели причина этого проклятия кроется только в нашей неорганизованности и безалаберности? Это, конечно, основные причины, но мы не настолько в них виноваты, чтобы нельзя было попробовать оправдаться каким-нибудь математическим законом. Стратегия балбеса, конечно, выглядит глупо, но взрывной рост темпа — это не шутки! Можно ли вообще с ним справиться?

Имея в распоряжении функцию вероятности для распределения Стирлинга, ожидаемый темп выполнения работы можно вычислить точно. Формула не слишком изящна, однако примечательно, что в нее входит число дней n и не входит число запланированных дел: