Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
С объемом как с мерой мы разобрались в главе 1, а что такое характерный размер? Мы можем сказать, что человек имеет характерный размер порядка метра, а муравей — миллиметра. В то же время характерный размер нашей Галактики — 100 тысяч световых лет. Все эти объекты имеют весьма сложную форму, но когда мы говорим о характерных размерах, она нас не интересует. Это понятие можно строго определить как среднее геометрическое размеров тела в разных направлениях или как диаметр шара, имеющего такой же объем, как и рассматриваемое тело.
Объем корочки равен следующей разнице:
Vкорки = Vобщ — Vвнутр,
а отношение объема корки, составляющей долю δ от размеров тела, к общему объему выражается так:
Как хорошо получилось — мы перешли от пропорциональности к точному равенству. Все благодаря отношениям, в которых сократились неизвестные нам формфактор и размеры тела. Таким образом, полученное соотношение объема корки и объема тела универсально и годится для арбузов сколь угодно сложной формы.
Вот как выглядит график роста доли пятнадцатипроцентной по радиусу корочки арбуза в его объеме при дальнейшем увеличении размерности пространства (рис. 5.2).
Рис. 5.2. В четырехмерном пространстве наш условно тонкокорый арбуз оставит нам уже лишь половину мякоти, а в одиннадцатимерном мы сможем полакомиться 15 % арбуза, выбросив корочку, составляющую 15 % его радиуса!
Итак, сейчас мы готовы сформулировать глубокомысленный закон арбузной корки:
Покупая многомерный арбуз, ты приобретаешь в основном его корку.Мне одному кажется, что я нормальный?
Обидно, конечно, но какое это имеет отношение к нормальности нашего мира и законам подлости? Увы, именно этот закон препятствует отысканию так называемой золотой середины, обесценивает результаты социологических опросов и повышает роль маловероятных неприятностей.
Дело в том, что пространство людей со всеми их параметрами существенно многомерно. В качестве различных размерностей можно рассматривать и очевидные рост, вес, возраст и достаток, а также уровни интеллектуального (IQ) и эмоционального (EQ) развития; наконец, наблюдаемые, хоть и плохо формализуемые черты лица либо характера — такие как уровень болтливости, упрямства или влюбчивости — тоже относятся к нашим параметрам. Мы без труда насчитаем с десяток-полтора величин, характеризующих человека. И для каждого из этих параметров существует некая статистически определяемая «норма» — самое ожидаемое и, более того, часто наблюдаемое значение. Сколько же в таком богатом пространстве параметров окажется людей, типичных во всех отношениях? Выражение, которое мы использовали для определения отношения объемов корки и арбуза, можно использовать и для вычисления вероятности попасть в число хоть в чем-то, но «ненормальных». Если мы сочтем все параметры независимыми (для некоторых пар параметров это может быть верно только приближенно), вероятность удовлетворить всем критериям типичности одновременно равна произведению вероятностей оказаться типичным по каждому критерию отдельно.
И вновь колмогоровское определение вероятности, которое мы ввели в самом начале, сильно упростит задачу, избавив нас от пугающих формул, по которым нельзя ничего толком вычислить. Полученная нами формула арбуза работает для любых, сколь угодно сложных форм. В том числе не имеющих границы, подобно атмосфере Земли, уходящей далеко в космическое пространство, становясь все тоньше. Так что нам не нужно знать, каким именно распределениям подчиняются обсуждаемые качества людей, остается лишь предположить, что у них есть среднее значение (а это, как мы увидим, бывает не всегда). Если обозначить как Pout вероятность оказаться за пределами области, которую мы сочли бы нормой, то вероятность оказаться ненормальным в чем-нибудь при рассмотрении m критериев будет вычисляться по «арбузной» формуле (рис. 5.3):
P = 1 — (1 — Pout)m.
Рис. 5.3. Математическая модель арбуза
Вот она — сила правильно выбранной модели! Толщину корки арбуза мы измеряли линейкой, попадание случайной величины в какой-нибудь диапазон — вероятностью. Какой бы малой ни была вероятность Pout, при m > ln(1/2)/ln(1 — Pout), значение P превысит 1/2.
Для внесения хоть какой-то конкретики можно предположить, что параметры, о которых мы говорим, имеют нормальное распределение. Это вполне разумно для наших целей, ведь мы не говорим о каком-то конкретном наборе характеристик, а, прямо скажем, фантазируем, стараясь сформулировать хоть что-то определенное в столь зыбкой теме. Выбор нормального распределения адекватно отражает степень нашего неведения, и загружаться подробностями до тех пор, пока не видна самая общая картина, рановато. Итак, наш арбуз превратился в размытое туманное пятно, что не мешает нам вычислить долю его «корки». Для «хорошего» в каком-то смысле распределения за норму можно принять значения, не отклоняющиеся от среднего больше чем на величину стандартного отклонения. Для нормального распределения доля значений, выходящих за пределы нормы, имеет Pout = 16 %, примерно как в рассмотренном нами реальном арбузе. Применительно к нашему нечеткому арбузу здесь имеется в виду вероятность оказаться на удалении в одно стандартное отклонение от среднего, как показано на рис. 5.4. При более толерантном понимании нормы можно ограничиться двумя стандартными отклонениями, получив Pout = 2,3 %.
Рис. 5.4. Вероятности оказаться «ненормальным» для разного числа критериев сравнения и «строгости» определения нормы. Верхний и нижний графики различаются тем, что при определении «нормальности» используют радиус в одно и два стандартных отклонения соответственно
Что ж, выходит, это нормально — быть хоть в чем-то ненормальным. Оценивая людей по десятку параметров, будьте готовы к тому, что полностью заурядными окажутся лишь 2 % общей популяции. Причем как только мы их разыщем, они тут же станут знаменитостями, утратив свою заурядность!
