Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко
Рис. 4.5. Теоретическое и наблюдаемое распределение длины цепочек неудавшихся выходных. Тонкой линией показаны допустимые отклонения при имеющемся количестве наблюдений
Можно задаться таким вопросом: сколько лет нужно вести наблюдения, чтобы замеченную нами разницу в 11 дней можно было бы уверенно подтвердить или отвергнуть как случайное отклонение? Это легко посчитать: наблюдаемая вероятность 141/459 = 0,307 отличается от ожидаемой 2/7 = 0,286 на 0,02. Для фиксации различия в сотых требуется абсолютная погрешность, не превышающая 0,005, что составляет 1,75 % от измеряемой величины. Отсюда получаем необходимый объем выборки n ≥ (4∙5/7)/(0,01752∙2/7) ≈ 32 000 дождливых дней. Это потребует около 4∙32000/365 ≈ 360 лет непрерывных метеорологических наблюдений, ведь только каждый четвертый день идет дождь или снег. Увы, данных за такой срок нет. Это даже больше, чем время, которое Камчатка находится в составе России, поэтому шансов выяснить, как обстоят дела «на самом деле», у меня нет. Особенно если учесть, что за это время климат успел измениться разительно — из малого ледникового периода природа выходит в очередной оптимум.
Как же австралийским исследователям удалось зафиксировать отклонение температуры в доли градуса и почему имеет смысл всерьез рассматривать это исследование? Дело в том, что они использовали часовые данные температуры, которые не были «прорежены» каким-либо случайным процессом. Таким образом, за 30 лет метеонаблюдений удалось накопить более четверти миллиона отсчетов с нескольких датчиков, что позволяет уменьшить стандартное отклонение среднего в 500 раз по отношению к стандартному суточному отклонению температуры. Этого вполне достаточно, чтобы говорить о точности в десятые доли градуса. Кроме того, авторы использовали еще один красивый метод, подтверждающий наличие временного цикла: случайное перемешивание временного ряда. Такое перемешивание сохраняет статистические свойства, такие как интенсивность потока событий во времени, однако «стирает» временные закономерности, делая процесс истинно пуассоновским. Сравнение множества синтетических рядов и экспериментального позволяет убедиться в том, что замеченные отклонения процесса от пуассоновского значимы. Таким же образом сейсмолог Александр Гусев показал, что землетрясения в каком-либо районе образуют своеобразный самоподобный поток со свойствами кластеризации[22]. Это означает, что землетрясения имеют обыкновение группироваться во времени, образуя весьма неприятные уплотнения потока. Позже выяснилось, что последовательность крупных вулканических извержений обладает тем же свойством.
Беспорядок внутри самих чисел
Конечно, погоду, как и землетрясения, нельзя описывать пуассоновским процессом. Это динамические процессы, в которых текущее состояние оказывается функцией предыдущих. Почему же наши наблюдения за погодой на выходных говорят в пользу простой стохастической модели? Мы отображаем закономерный процесс формирования осадков на множество дней недели, или, говоря на языке математики, на систему вычетов по модулю семь. Этот процесс способен порождать хаос из вполне упорядоченных рядов данных. Отсюда, например, происходит видимая случайность в последовательности цифр десятичной записи большинства вещественных чисел.
Мы уже говорили о рациональных числах, которые выражаются целочисленными дробями. Они имеют внутреннюю структуру, которая определяется двумя числами: числителем и знаменателем. Но при записи в десятичной форме можно наблюдать скачки от регулярности в представлении таких чисел, как 1/2 = 0,5, или 1/3 = 0,3333… = 0,3 до периодичного повторения уже вполне беспорядочных последовательностей в таких числах, как 1/17 = 0,0588235294117647. Иррациональные числа не имеют конечной или периодической записи в десятичной форме, в последовательности цифр чаще всего царит хаос. Но это не значит, что в таких числах нет порядка! Например, √2, одно из первых иррациональных чисел, встретившихся математикам, в десятичной записи порождает хаотический набор цифр. Однако, с другой стороны, это число можно представить в виде бесконечной цепной дроби:
Нетрудно показать, что эта цепочка действительно равна корню из двух, решив уравнение:
Цепные дроби с повторяющимися коэффициентами записывают коротко, подобно периодическим десятичным дробям, например: √2 = [1;2], √3 = [1;12]. Знаменитое золотое сечение в этом смысле представляет собой проще всего устроенное иррациональное число: φ = [1;1]. Все рациональные числа представляются в виде конечных цепных дробей; часть иррациональных — в виде бесконечных, но периодических, такие числа называют алгебраическими; те же, что не имеют конечной записи даже в такой форме, — трансцендентными. Самое, пожалуй, знаменитое из них — число π, оно порождает хаос как в десятичной записи, так и в виде цепной дроби: π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,2,1,14,2,1,…]. А вот число Эйлера e, будучи трансцендентным, в форме цепной дроби проявляет внутреннюю структуру, скрытую в десятичной записи: e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,…].
Наверное, не один математик подозревал мир в коварстве, обнаруживая, что такое нужное, такое фундаментальное число π имеет столь неуловимо сложную хаотичную структуру. Конечно, его можно представить в виде более или менее изящных сумм, произведений, вложенных корней, но все эти ряды, в отличие, например, от цепных дробей, не универсальны и не характеризуют каких-либо особых классов чисел.
Я верю, что математикам будущего откроется какое-нибудь новое фундаментальное представление чисел — столь же универсальное, как цепные дроби, — которое позволит выявить строгий порядок, скрытый природой в числе π, и найти ему подобные.
* * *Результаты этой главы по большей части отрицательные. И, как автор, желающий удивить читателя скрытыми закономерностями и неожиданными открытиями, я сомневался, стоит ли включать ее в книгу. Но наш разговор о погоде ушел в очень важную тему — о ценности и осмысленности естественнонаучного подхода.
Одна мудрая девочка, Соня Шаталова, глядя на мир сквозь призму аутизма, в десятилетнем возрасте дала очень лаконичное и точное определение: «Наука — это система знаний, основанных на сомнении». Реальный мир зыбок и норовит спрятаться за сложностью, видимой случайностью и ненадежностью измерений. Сомнение в естественных науках неизбежно. Математика представляется царством определенности,
