М. Бабаев - Гидравлика
Приращение давления при гидравлическом ударе по формуле Жуковского:
Δp = ρСυ0+ ρυ02.
52. Скорость распространения волны гидравлического удара
В гидравлических расчетах немалый интерес представляет скорость распространения ударной волны гидравлического удара, как и сам гидравлический удар. Как ее определить? Для этого рассмотрим круглое поперечное сечение в упругом трубопроводе. Если рассмотреть участок длиной Δl, то выше этого участка за время Δt жидкость еще движется со скоростью υ0, кстати, как и до закрытия затвора.
Поэтому в соответствующей длине l объем ΔV ′ войдет жидкость Q = ω0υ0, т. е.
ΔV ′ = QΔt = ω0υ0Δt, (1)
где площадь круглого поперечного сечения – объем, образовавшийся в результате повышения давления и, как следствие этого, из-за растяжек стены трубопровода ΔV1. Oбъем, который возник из-за роста давления на Δp обозначим как ΔV2. Значит, тот объем, который возник после гидравлического удара, есть
ΔV = ΔV1+ ΔV2, (2)
ΔV ′ входит в ΔV.
Определимся теперь: чему будут равны ΔV1 и ΔV2.
В результате растяжки трубы произойдет приращение радиуса трубы на Δr, то есть радиус станет равным r= r0+ Δr. Из-за этого увеличится круглое сечение поперечного сечения на Δω = ω– ω0. Все это приведет к приращению объема на
ΔV1= (ω– ω0)Δl = ΔωΔl. (3)
Следует иметь в виду, что индекс ноль означает принадлежность параметра к начальному состоянию.
Что касается жидкости, то ее объем уменьшится на ΔV2 из-за приращения давления на Δp.
Искомая формула скорости распространения волны гидравлического удара
где ρ– плотность жидкости;
D/l – параметр, характеризующий толщину стенки трубы.
Очевидно, что чем больше D/l, тем меньше скорость распространения волны С. Если труба жесткая абсолютно, то есть Е = ∞, то, как следует из (4)
53. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения
Для того, чтобы составить уравнение любого вида движения, нужно проецировать все действующие силы на систему и приравнивать их сумму к нулю. Так и поступим.
Пусть имеем напорный трубопровод круглого сечения, в котором есть неустановившееся движение жидкости.
Ось потока совпадает с осью l. Если выделить на этой оси элемент dl, то, согласно вышеуказанному правилу, можно составить уравнение движения
В приведенном уравнении проекции четырех сил, действующих на поток, точнее, на Δl, равны нулю:
1) ΔM – силы инерции, действующие на элемент dl;
2) Δp – силы гидродинамического давления;
3) ΔT – касательные силы;
4) ΔG – силы тяжести: здесь мы, говоря о силах, имели в виду проекции сил, действующих на элемент Δl.
Перейдем к формуле (1), непосредственно к проекциям действующих сил на элемент Δt, на ось движения.
1. Проекции поверхностных сил:
1) для гидродинамических сил Δp проекцией будет
2) для касательных сил ΔT
Проекция касательных сил имеет вид:
–ρgωJdl. (3)
2. Проекция сил тяжести Δ ΔG на элемент Δ Δ
3. Проекция сил инерции Δ ΔM равна
54. Истечение жидкости при постоянном напоре через малое отверстие
Будем рассматривать истечение, которое происходит через малое незатопленное отверстие. Для того, чтобы отверстие считать малым, должны выполняться условия:
1) напор в центре тяжести Н >> d, где d – высота отверстия;
2) напор в любой точке отверстия практически равен напору в центре тяжести Н.
Что касается затопленности, то таковой считают истечение под уровень жидкости при условии, если не изменяются со временем: положение свободных поверхностей до и после отверстий, давление на свободные поверхности до и после отверстий, атмосферное давление по обе стороны от отверстий.
Таким образом, имеем резервуар с жидкостью, у которой плотность ρ, из которого через малое отверстие происходит истечение под уровень. Напор Н в центре тяжести отверстия постоянен, что значит, скорости истечения постоянны. Следовательно, движение установившееся. Условием равенства скоростей на противоположных вертикальных границах отверстий является условие d ≤ 0,1Н, где d – наибольший вертикальный размер.
Ясно, что нашей задачей является определение скорости истечения и расхода жидкости в нем.
Сечение струи, отстоящее от внутренней стенки резервуара на расстояние 0,5d, называют сжатым сечением струи, которое характеризуется коэффициентом сжатия
Формулы определения скорости и расхода потока:
где υ0 называется коэффициентом скорости.
Теперь выполним вторую задачу, определим расход Q. По определению
Обозначим Еυ0= μ0, где μ0 – коэффициент расхода, тогда
Различают следующие разновидности сжатия:
1. Полное сжатие – это такое сжатие, которое происходит по всему периметру отверстия, в противном случае сжатие считается неполным сжатием.
2. Совершенное сжатие является одной из двух разновидностей полного сжатия. Это такое сжатие, когда кривизны траектории, следовательно, и степень сжатия струи наибольшие.
Подводя итог, заметим, что неполная и несовершенная формы сжатий приводят к росту коэффициента сжатия. Характерной особенностью совершенного сжатияявляется то, что в зависимости от того, под воздействием каких сил происходит истечение.
55. Истечение через большое отверстие
Отверстие считают малым, когда его вертикальные размеры d < 0,1Н. Большим отверстием будем считать такое отверстие, для которого тот же d> 0,1Н.
Рассматривая истечение через малое отверстие, практически пренебрегли различием скоростей в разных точках сечения струи. В этом случае поступить так же мы не сможем.
Задача та же: определить расход и скорости в сжатом сечении.
Поэтому расход определяют следующим способом: выделяют бесконечно малую горизонтальную высоту dz. Таким образом, получается горизонтальная полоса с переменной длиной bz. Тогда, интегрировав по длине, можно найти элементарный расход
где Z – переменный напор по высоте отверстия, на такую глубину погружен верх выбранной полосы;
μ – коэффициент расхода через отверстие;
bz – переменная длина (или ширина) полосы.
Расход Q (1) можем определить, если μ = const и известна формула bz= f(z). В общем случае, расход определяют по формуле
Если форма отверстия прямоугольная, то bz= b = const, интегрировав (2), получаем:
где Н1, Н2 – напоры на уровнях соответственно у верхней и у нижней кромок отверстия;
Нц – напор над центром отверстия;
d – высота прямоугольника.
Формула (3) имеет более упрощенный вид:
В случае истечения через круглое отверстие пределами интегрирования в (2) служат Н1= Нц – r; Н2 = Нц + r; Z = Нц – rcosυ; dz = ρsinυdυ; bz = 2rυsinυ.
Избегая математического излишества, приведем конечную формулу:
Как видно из сравнений формул, особой разницы в формулах для расхода нет, только при больших и малых отверстиях коэффициенты расхода разные
56. Коэффициент расхода системы
Требуется выяснить вопрос о расходе, если истечение происходит по трубам, соединенным в одну систему, но имеющих разные геометрические данные. Здесь нужно рассмотреть каждый случай отдельно. Приведем некоторые из них.
1. Истечение происходит между двумя резервуарами при постоянном напоре через систему труб, у которых разные диаметры и длина. В этом случае на выходе системы Е= 1, следовательно, численно μ= υ, где Е, μ, υ – коэффициенты соответственно сжатия, расхода и скорости.
2. Истечение происходит через систему труб с разными ω(площадь поперечного сечения): при этом определяют суммарный коэффициент сопротивления системы, который состоит из таких же коэффициентов, но для каждого участка отдельно.
Истечение происходит в атмосферу через незатопленное отверстие. В этом случае
где Н = z = const – напор; μ, ω– коэффициент расхода и площадь сечения.
Для того, чтобы рассчитать расход, нужно в (1) вместо коэффициента расхода m подставить коэффициент расхода системы
поскольку в (2) коэффициент Кориолиса (или кинетической энергии) х отнесен к выходному сечению, где, как правило х ≈ 1.
Такое же истечение происходит через затопленное отверстие
в этом случае расход определяется по формуле (3), где μ = μсист, ω– площадь выходного сечения. При отсутствии или незначительности скорости в приемнике или трубе коэффициент расхода заменяется на
Нужно только иметь в виду, что при затопленном отверстии ζ вых = 1, и этот ζвых входит в ζсист.
