М. Бабаев - Гидравлика
Окончательно уравнение Бернулли для потока, получение которого и являлось задачей рассматриваемого вопроса имеет следующий вид:
Что касается (5), то оно получено из (4) с учетом того, что dQ = wdu; подставив dQ в (4) и сократив ω, приходим к (6).
Отличие hин от hпр прежде всего в том, что оно не является необратимым. Если движение жидкости с ускорением, что значит dυ/t > 0, то hин > 0. Если движение замедленное, то есть du/t < 0, то hин < 0.
Уравнение (5) связывает параметры потока только в данный момент времени. Для другого момента оно может уже оказаться не достоверным.
36. Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса
Как нетрудно было убедиться в вышеприведенном опыте, если фиксировать две скорости в прямом и обратном переходах движения в режимы ламинарное → турбулентное, то
υ1 ≠ υ2
где υ1 – скорость, при которой начинается переход из ламинарного в турбулентный режим;
υ2 – то же самое при обратном переходе.
Как правило, υ2 < υ1. Это можно понять из определения основных видов движения.
Ламинарным (от лат. lamina – слой) считается такое движение, когда в жидкости нет перемешивания частиц жидкости; такие изменения в дальнейшем будем называть пульсациями.
Движение жидкости турбулентное (от лат. turbulentus – беспорядочный), если пульсация местных скоростей приводит к перемешиванию жидкости.
Скорости перехода υ1, υ2 называют:
υ1– верхней критической скоростью и обозначают как υв. кр, это скорость, при которой ламинарное движение переходит в турбулентное;
υ2– нижней критической скоростью и обозначают как υн. кр, при этой скорости происходит обратный переход от турбулентного к ламинарному.
Значение υв. кр зависит от внешних условий (термодинамические параметры, механические условия), а значения υн. кр не зависят от внешних условий и постоянны.
Эмпирическим путем установлено, что:
где V – кинематическая вязкость жидкости;
d – диаметр трубы;
R– коэффициент пропорциональности.
В честь исследователя вопросов гидродинамики вообще и данного вопроса в частности, коэффициент, соответствующий uн. кр, называется критическим числом Рейнольдса Reкр.
Если изменить V и d, то Reкр не изменяется и остается постоянным.
Если Re< Reкр, то режим движения жидкости ламинарный, поскольку υ < υкр; если Re > Reкр, то режим движения турбулентный из-за того, что υ> υкр.
37. Осредненные скорости. Пульсационные составляющие
В теории турбулентного движения очень многое связано с именем исследователя этого движения Рейнольдса. Рассматривая хаотическое турбулентное движение, он представил мгновенные скорости, как некоторые суммы. Эти суммы имеют вид:
где ux, uy, uz – мгновенные значения проекций скорости;
p, τ – то же самое, но для напряжений давления и трения;
черта у величин наверху означает, что параметр усреднен по времени; у величин u′x, u′y, u′z, p′, τ′ черта сверху означает, что имеется в виду пульсационная составляющая соответствующего параметра («добавка»).
Осреднение параметров по времени осуществляется по следующим формулам:
– интервал времени, в течение которого проводится осреднение.
Из формул (1) следует, что пульсируют не только проекции скорости, но и нормальные р ик асательные τ напряжения. Значения усредненных во времени «добавок» должны быть равны нулю: например для х-ой компоненты:
Интервал времени Т определяют достаточным, чтобы при повторном осреднении значение «добавки» (пульсирующей составляющей) не изменилось.
Турбулентное движение считается неустановившимся движением. Несмотря на возможное постоянство осредненных параметров, мгновенные параметры все же пульсируют. Следует запомнить: осредненная (по времени и в конкретной точке) и средняя (в конкретном живом сечении) скорости – не одно и то же:
где υ= Q/w;
Q – расход жидкости, которая течет со скоростью υ через w.
38. Средне квадратичное отклонение
Принят стандарт, который называется среднеквадратическим отклонением. Для х
Чтобы получить формулу для любого параметра «добавки» из формулы (1), достаточно заменить ux в (1) на искомый параметр.
Среднеквадратичное отклонение можно относить к следующим скоростям: усредненная местная скорость данной точки; средняя по вертикали; средняя поживому сечению; максимальная скорость.
Обычно максимальная и средняя по вертикали скорости не используются; используются две из вышеперечисленных характерных скорости. Кроме них, используют также динамическую скорость
где R– гидравлический радиус;
J – гидравлический уклон.
Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к средней скорости, есть, например, для х-ой компоненты:
Но лучшие результаты получаются, если среднеквадратичное отклонение относить к ux, т. е. динамической скорости, например
Определим степень (интенсивность) турбулентности, как называют величину e
Однако лучшие результаты получаются, если за масштаб скорости (то есть за характерную скорость) взять динамическую скорость ux.
Еще одним свойством турбулентности является частота пульсаций скорости. Средняя частота пульсации в точке с радиусом r от оси потока:
где N – половина экстремума вне кривой мгновенных скоростей;
Т – период осреднения;
T/N = 1/w– период пульсации.
39. Распределение скоростей при равномерном установившемся движении. Ламинарная пленка
Все же, несмотря на вышеперечисленные и другие особенности, о которых не сказано из-за их невостребованности, основным признаком турбулентного движения является перемешивание частиц жидкости.
Принято об этом перемешивании с точки зрения количества говорить как о перемешивании молей жидкости.
Как мы убедились выше, с ростом числа Re интенсивность турбулентности нe растет. Несмотря на это, все же, например, у внутренней поверхности трубы (или у любой другой твердой стенки) существует некоторый слой, в пределах которого все скорости, в том числе пульсационные «добавки», равны нулю: это очень интересное явление.
Этот слой принято называть вязким подслоем потока.
Само собой на границе соприкосновения с основной массой потока этот вязкий подслой все же имеет некоторую скорость. Следовательно, все изменения в основном потоке передаются и в подвязкий слой, но их значение очень мало. Это позволяет считать движение слоя ламинарным.
Ранее, считая, что эти передачи в подвязкий слой отсутствуют, слой назвали ламинарной пленкой. Теперь нетрудно убедиться, что с точки зрения современной гидравлики ламинарность движения в этом слое относительная (интенсивность ε в подвязком слое (ламинарной пленке) может достигать значения 0,3. Для ламинарного движения это достаточно большая величина)
Подвязкий слой εв очень тонкий по сравнению с основным потоком. Именно наличие этого слоя порождает потери напора (удельной энергии).
Что касается толщины ламинарной пленки δв, то она обратно пропорциональна числу Re. Это более наглядно видно из следующего сравнения толщины в зонах потока при турбулентном движении.
Вязкий (ламинарный) слой – 0 < ua / V < 7.
Переходная зона – 7 < ua/V < 70.
Турбулентное ядро – ua/V < 70.
В этих соотношениях u – динамическая скорость потока, а – расстояние от твердой стенки, V – кинематическая вязкость.
Углубимся немного в историю теории турбулентности: эта теория включает в себя совокупность гипотез, на основании которых были получены зависимости между основными параметрами ui,τ турбулентного движения потока.
У разных исследователей к этому вопросу были разные подходы. Среди них немецкий ученый Л. Прандтль, советский ученый Л. Ландау и многие другие.
Если до начала XX в. ламинарный слой, по мнению ученых, представлял собой некоторый мертвый слой, в переходе к которому (или от которого) происходит как бы разрыв скоростей, то есть скорость меняется скачкообразно, то в современной гидравлике совсем другая точка зрения.
Поток – это «живое» явление: все переходные процессы в нем носят непрерывный характер.
40. Распределение скоростей в «живом» сечении потока
Современной гидродинамике удалось разрешить эти проблемы, применив метод статистического анализа. Основным орудием этого метода является то, что исследователь выходит за рамки традиционных подходов и применяет для анализа некие средние по времени характеристики потока.
Усредненная скорость
