Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса
Примеров, которые показывают, что вопрос «Что есть математика – изобретение или открытие?» некорректно сформулирован, можно найти множество. Наша математика – это сочетание изобретений и открытий. Аксиомы евклидовой геометрии как понятия были изобретением, как и, скажем, правила игры в шахматы. Кроме того, аксиомы были дополнены различными изобретенными понятиями – треугольниками, параллелограммами, эллипсами, золотым сечением и тому подобным. А теоремы евклидовой геометрии, напротив, по большей части представляют собой открытия: это пути, связывающие разные понятия. В некоторых случаях доказательства приводили к формулировке новых теорем – математики изучали, что можно доказать, и из этого выводили теоремы. В других, как описано в «Методе» Архимеда, они сначала находили ответ на заинтересовавший их вопрос, а потом уже работали над доказательством.
Понятия – это, как правило, изобретения. Простые числа как понятие были изобретены, однако все теоремы о простых числах – открытия[158]. Математики древнего Вавилона, Египта и Китая не изобрели понятие простых чисел, хотя их математика достигла огромных успехов. Можно ли сказать, что они просто не «открыли» простые числа? Не в большей степени, чем заявить, что в Великобритании не «открыли» единую кодифицированную конституцию. Государство способно выжить и без конституции – и математика способна развиваться без понятия простых чисел. Так и получилось!
А известно ли нам, почему греки изобрели понятия вроде аксиом и простых чисел? Конечно, наверняка сказать нельзя, но можно предположить, что это произошло в ходе неустанных попыток исследовать самые фундаментальные составляющие Вселенной. Простые числа – это строительный материал чисел, точно так же как атомы – это строительный материал вещества. Подобным же образом аксиомы были источником, из которого должны вытекать все геометрические истины. Додекаэдр символизировал Вселенную в целом, а золотое сечение послужило понятием, благодаря которому этот символ был воплощен.
Все это говорит еще об одном интересном аспекте математики: она часть человеческой культуры. Стоило грекам изобрести аксиоматический метод, как все их последователи, европейские математики, тут же взяли с них пример и переняли у них эту систему представлений и практических приемов. Антрополог Лесли А. Уайт (1900–1975) как-то раз лаконично охарактеризовал этот культурный аспект (White 1947): «Если бы Ньютон вырос среди готтентотов [южноафриканское племя], он и считал бы по-готтентотски». Культурная составляющая математики, скорее всего, отвечает и за то, что многие математические открытия (например, инварианты узла) и даже некоторые крупные изобретения (например, математический анализ) были сделаны одновременно несколькими независимыми учеными.
Говорите ли вы по-математически?
В предыдущем разделе я сравнил смысл абстрактного понятия числа со значением слова. Можно ли считать математику своего рода языком? Открытия математической логики, с одной стороны, и лингвистики – с другой, показывают, что в некоторой степени так и есть. Труды Буля, Фреге, Пеано, Рассела, Уайтхеда, Гёделя и их современных последователей, в особенности в областях вроде философской семантики и синтаксиса и в параллельных направлениях лингвистики, показали, что грамматика и логические рассуждения тесно связаны с алгеброй символической логики. Но почему тогда на свете существует более 6500 языков и только одна математика? На самом деле у многих языков при всем их разнообразии общая основа. Скажем, американский лингвист Чарльз Хокетт (1916–2000) в 60-е годы привлек внимание к тому обстоятельству, что все языки обладают встроенными механизмами для создания новых слов и фраз («луноход», «веб-страница», «банкомат» и так далее)[159]. Подобным же образом все человеческие языки допускают отвлеченные понятия («сюрреализм», «отсутствие», «величие»), отрицание («нет», «не бывает»), условные конструкции («Если бы бабушке приделали колесики, она стала бы автобусом»). Пожалуй, важнейшие свойства любых языков – это незамкнутость и свобода стимуляции. Первое – это способность создавать неслыханные ранее высказывания и понимать их[160]. Например, я легко могу создать предложение вроде «Плотину Гувера скотчем не починишь», и, хотя вам, скорее всего, эта фраза раньше не попадалась, вы без труда ее поймете. Свобода стимуляции – это власть выбирать, как реагировать на полученный стимул и реагировать ли на него вообще. Например, на вопрос, который ставит автор-исполнитель Кэрол Кинг в своей песне «Будешь ли ты и завтра любить меня?», можно ответить и «Откуда я знаю, не умру ли я до завтра», и «Конечно», и «Да я и сегодня тебя не люблю», и «Не больше, чем свою собачку», и «Честное слово, это ваша лучшая песня!», и даже «Интересно, кто в этом году выиграет Открытый чемпионат Австралии по теннису». Легко видеть, что многие эти черты (абстракция, отрицание, незамкнутость и способность развиваться) характерны и для математики[161].
Как я уже отмечал, Лакофф и Нуньес подчеркивают роль метафор в математике. Кроме того, когнитивисты настаивают, что все человеческие языки прибегают к метафорам для выражения практически чего угодно. Но и это еще не все: с 1957 года, когда знаменитый лингвист Ноам Хомски опубликовал свою революционную книгу «Синтаксические структуры» (Noam Chomsky, «Syntactic Structures»), многие лингвисты занялись так называемой универсальной грамматикой – общими принципами, которые управляют всеми языками[162]. Иначе говоря, то, что кажется на первый взгляд вавилонским разнообразием языков, на самом деле обладает неожиданным структурным сходством. Вдумайтесь – ведь иначе невозможно было бы составить словари для перевода с одного языка на другой!
Вероятно, вас до сих пор удивляет, что математика такая однородная – и по тематике, и по системе условных обозначений. Особенно интересна первая часть этого вопроса. Большинство математиков согласны, что математика в известном нам виде развилась из основных отраслей геометрии и арифметики, которые разрабатывали и применяли на практике древние вавилоняне, египтяне и греки. Однако так ли уж неизбежно, что математика должна отталкиваться именно от этих дисциплин?
Специалист по информатике Стивен Вольфрам в своей объемной книге «Наука нового типа» (Wolfram 2002) доказывает, что это не обязательно. В частности, Вольфрам демонстрирует, как можно развить математику совершенно нового типа, если начинать с простого набора правил (клеточных автоматов), которые действуют как короткие компьютерные программы. Эти клеточные автоматы можно (по крайней мере, в принципе) сделать основными инструментами моделирования природных явлений – вместо дифференциальных уравнений, которые главенствовали в естественных науках на протяжении трех столетий. Но что же тогда подтолкнуло древние цивилизации к открытию и изобретению именно нашей «марки» математики? Наверняка сказать невозможно, но, вероятно, это связано в основном с особенностями человеческой системы восприятия. Люди без труда замечают и распознают грани, прямые линии, плавные кривые. Скажем, обратите внимание, с какой точностью лично вы можете определить (на глаз), когда линия идеально прямая, и с какой легкостью отличаете правильную окружность от немного эллиптической. Вероятно, эти особенности восприятия оказали сильное влияние на то, как люди видят мир, и поэтому привели к созданию математики, основанной на дискретных объектах (арифметика) и на геометрических фигурах (евклидова геометрия).
Единство системы обозначений, вероятно, стало результатом так называемого «Эффекта “Майкрософт Виндоус”». Операционной системой «Майкрософт» пользуется весь мир, и не потому, что этого нельзя избежать, а просто потому, что она захватила большую часть рынка программного обеспечения и имеет смысл приобретать ее просто ради удобства связи и доступности различных приложений. Подобным же образом западная система условных обозначений некоторым образом навязана математическому миру.
Интересно, что астрономия и астрофизика, возможно, еще не до конца сыграли свою роль в ответе на вопрос об изобретении или открытии. Не так давно поиски планет вне Солнечной системы показали, что около пяти процентов всех звезд обладают по крайней мере одной гигантской планетой вроде Юпитера и что эта доля примерно одинакова по всему Млечному пути. Точный процент планет земного типа пока не известен, но есть вероятность, что в галактике их миллиарды. Даже если лишь очень маленькая, но все же отличающаяся от нуля доля этих «Земель» находится в обитаемой зоне (на орбите, которая проходит от звезды на таком расстоянии, что делает возможным существование на поверхности планеты жидкой воды), вероятность возникновения жизни как таковой и, в частности, разума на таких планетах больше нуля. А если нам удастся открыть разумную жизнь и наладить с ней коммуникацию, можно будет получить бесценные сведения о том, какие формальные методы объяснения устройства космоса разрабатывают другие цивилизации. И тогда мы не просто добьемся невообразимых успехов в понимании происхождения и эволюции жизни, но и получим возможность сравнить свою логику с логическими системами потенциально более развитых существ.
