Рафаель Роузен - Математика для гиков

Астролябии могли производить сложные вычисления, хотя и состояли всего из нескольких частей:

• «Тарелка» представляла собой круглую металлическую деталь, на которой располагались все остальные детали.

• «Тимпан» – круглый плоский диск с выгравированной линией, который находился на «тарелке». На «тарелку» можно было прикладывать разные «тимпаны» в зависимости от того места, где находился пользователь прибора.

• На «тимпан» накладывался «паук», содержащий отверстия, через которые был виден «тимпан». На «пауке» также были метки, которые указывали на важные функции «тимпана».

• Астролябии также включали в себя алидаду, которая помогала определять высоту небесных тел.

• Сверху астролябии крепилось кольцо, так что прибор можно было подвесить на веревке (это помогало расчетам).

На «тимпане» можно увидеть стереографические проекции. Каждый «тимпан» имел выгравированный шаблон линий, который соответствовал линиям широты Земли. На некоторых «тимпанах» были линии с другими элементами карты, такими, как линии времени, линии азимута и альмукантараты. Короче говоря, благодаря стереографическим проекциям стала возможна навигация по океанам, а также навигация по собственной астрологической судьбе. А все благодаря математике.

Покажите вашу любовь к математике и наденьте часы с астролябией (можно найти онлайн), хотя она будет, скорее, всего слишком маленькой для использования!

3.26. Угол естественного откоса

Математическое понятие: угол естественного откоса

Вы можете найти математику почти везде, включая ваш обеденный стол. Насыпьте соль горкой на листе бумаги, в результате получится конус. Но этот конус не просто красив. Он также демонстрирует феномен, который называется углом естественного откоса. Это угол, который образует поверхность горки соли по отношению к горизонтальной поверхности стола.

На самом деле, все сыпучие материалы – включая песок и камни – имеют угол естественного откоса, даже валуны, которые падают с гор во время схода лавин. Более того, этот угол не является случайным, и он не меняется от ситуации. Он зависит от комбинации факторов, включая размер частиц, также важно, являются ли они гладкими или зубчатыми, есть ли вода между частицами (из-за нее они могут прилипнуть друг к другу) и насколько твердая поверхность, на которой они находятся.

Угол естественного откоса поваренной соли составляет 32 градуса, но углы могут быть и больше: 45 градусов для коры деревьев и кокосовых хлопьев. Углы естественного откоса могут быть и меньше: мокрая глина имеет угол в 15 градусов. Люди могут использовать углы естественного откоса, даже чтобы выяснить, развалится ли гора какого-либо материала, например гравия.

Так что не стесняйтесь высыпать соль из солонки во время следующего семейного ужина. Скажите всем, что делаете это во имя математики!

Пепел 40 градусов

Отруби 30–45 градусов

Гравий 30–45 градусов

Сухой песок 34 градуса

Снег 38 градусов

Пшеница 27 градусов

4. Часть 4. Специальные числа

4.1. Что за шумиха вокруг Пи?

Математическое понятие: иррациональные числа

Возьмите любой круг и измерьте его окружность (расстояние вокруг края) и диаметр (расстояние от одной стороны круга до другой в виде прямой, которая проходит через центр круга). Они одного размера? Если нет, то насколько одно больше другого?

Так выходит, что окружность всегда больше, чем диаметр. Только этот факт уже поражает. В любом круге в мире – ободок вашей чашки для кофе, колесо на велосипеде, монета – внешняя линия края всегда больше, чем линия, проходящая через центр круга. Вам необязательно делать замеры, чтобы в этом убедиться (хотя вы, конечно, можете это сделать, просто чтобы доказать себе, что я говорю правду). Это свойство универсально; оно применяется ко всем окружностям, везде, во все времена. (Здесь я предполагаю, что все обсуждаемые нами окружности находятся на плоской поверхности.)

Теперь мы подошли ко второй потрясающей части взаимосвязи между окружностью круга и его диаметром. Для любых кругов окружность всегда больше на одинаковую величину. Эта величина не фиксированное число, такое, как 39: абсолютная разница между окружностью и диаметром большого круга, конечно, будет больше, чем у маленького круга. Одинаковым остается соотношение, или относительная разность. «Так это здорово, – скажете вы. – Насколько окружность больше? В два раза? В 1,5 раза?»

Вот где начинаются странности. В некотором смысле, сказать, насколько точно больше окружность, очень сложно. В течение тысячелетий люди знали, что окружность примерно в три раза больше диаметра, но на самом деле примерно в 3,14. Более точное число будет выглядеть так: 3,14159. Однако ряд чисел после запятой продолжается бесконечно без повторений. На сегодняшний день наиболее точный расчет этого коэффициента тянется на 8 квадриллионов цифр после запятой.

Это число – отношение длины окружности к ее диаметру или, другими словами, насколько одно значение больше другого – известно как Пи, буква греческого алфавита. Но его название не имеет никакого значения, если честно, с таким же успехом мы могли бы называть его «Фрэнк», или «Сэм», или «Фелиция». Важно то, насколько оно распространено в нашем мире – оно есть в каждом круге – и насколько оно необычно. Чтобы лучше понять всю его необычность, представьте, что ваш друг спросил, насколько вы выше своей собаки. Что, если бы вы ответили: «Ну, я не совсем уверен. Я примерно в два раза выше своей собаки, но чем больше я буду измерять, тем больше буду понимать, что мне никогда не вычислить точное значение». Каким образом на этот вопрос не может быть четкого ответа? Такова непостижимая натура Пи.

Для помешанных на математике 14 марта – особая дата. Это день Пи, отмечать этот праздник начинают в 1.59 дня (если вы сложите месяц, день и время, то получится как раз 3,14159). День Пи начали отмечать в Музее науки, искусства и человеческого восприятия Exploratorium в Сан-Франциско.

4.2. Простые числа

Математические понятия: теория чисел, простые числа

Некоторые числа являются особенными, а некоторые самые особенные числа являются простыми числами. Простые числа делятся только на себя и на 1. Например, 5 – это простое число, так как его можно разделить только на 5 и на 1. А 10 не является простым, так как его можно разделить на 1, 2, 5 и 10. Простые числа очаровывали математиков больше 2000 лет еще со времен древних греков и Евклида (одного из величайших математиков в истории и автора одной из самых влиятельных книг в человеческой цивилизации «Начала»).

Простые числа интересны, так как они являются фундаментальными составляющими всех других чисел. На самом деле, простые числа иногда называют атомами в математике, но порядок их появления, кажется, не поддается никакому закону. Согласно основной теореме арифметики, каждое число, которое больше 1, является или простым, или получено путем перемножения серии простых чисел. Вот несколько примеров:

2 – простое число.

3 – простое число.

4 = 2 × 2

5 – простое число.

6 = 2 × 3

7 – простое число.

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

10 = 2 × 5

11 – простое число.

12 = 2 × 2 × 3

13 – простое число.

И так далее.

Сколько простых чисел существует? Евклид доказал, что на самом деле их бесконечное количество. Неважно, как далеко мы находимся на числовой прямой, мы никогда не доберемся до последнего простого числа. Их всегда будет больше.

То, как Евклид пришел к этому выводу, стоит рассмотреть, так как это хороший пример того, как математики используют рассуждение в изучении чисел и их свойств.

1. Во-первых, помните, что каждое число – это простое число или же получено путем перемножения ряда простых чисел.

2. Во-вторых, мы будем использовать особый вид способа доказательств под названием reduction ad absurdum (доведение до абсурда): мы попробуем доказать противоположное тому, что мы пытаемся доказать. Если мы докажем, что это противоположное не может быть правдой, тогда мы будем знать, что противоположное ему утверждение – то, что мы изначально хотели доказать, – будет истиной.

Другими словами, мы собираемся доказать, что существует ограниченное количество простых чисел. Внимание, спойлер: если мы поймем, что наше доказательство упрется в логическое препятствие, то мы косвенно докажем, что противоположное утверждение является истиной и что количество простых чисел неограниченно.

Шаг первый: давайте изобретем число и назовем его «Джордж». Скажем, что мы можем получить Джорджа, если перемножим все простые числа, от первого до последнего, а потом прибавим к результату 1. (Не забывайте, что мы предполагаем, что существует ограниченное количество простых чисел.) Мы знаем, что Джордж должен быть простым числом или должен быть получен в результате умножения простых чисел. Мы сразу же можем увидеть, что если Джордж является простым числом, то мы доказали, что есть простое число – Джордж! – которое не входило в наш изначальный список. Теперь мы можем остановиться и похлопать себя по спине, так как наш результат будет актуален для любого количества простых чисел.