Рафаель Роузен - Математика для гиков

3.19. Как работают компьютеры?

Математическое понятие: булева алгебра

Компьютеры повсюду: начиная со смартфонов в вашем кармане до ноутбука в рюкзаке и гигантских серверов, которые позволяют Amazon обрабатывать онлайн-покупки, – вычислительные устройства проникли во все уголки повседневной жизни. Но как именно они работают? Как металлические компоненты внутри корпуса компьютера позволяют вам сидеть в Интернете, делиться фотографиями с друзьями или просто складывать или вычитать числа?

Ответ кроется в математике. Компьютерные схемы создаются в соответствии с принципами, изложенными Джорджем Булем, английским математиком, который жил с 1815 по 1864 год. Буль стал известен тем, что применил алгебраические методы к логике, дисциплине, которая концентрируется на правилах, по которым можно приходить к выводам, основанным на предпосылках. Классический пример логического аргумента – или набора утверждений, которые в сочетании с разумом обосновывают положение, – приводит нас к Сократу, древнегреческому философу. Вот этот аспект:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Следовательно, Сократ смертен.

Этот вид аргумента, известный как силлогизм, интересен, так как если первые два утверждения верны, то третье утверждение тоже должно быть правдой. И нам не обязательно использовать «люди», «смертен» и «Сократ». Мы могли бы их заменить на что угодно. Вот другая версия:

У всех птиц есть крылья.

Тукан – птица.

Следовательно, у тукана есть крылья.

Но логика может применяться не только к таким простым понятиям, как «люди» и «туканы». Она также относится к высказываниям, то есть утверждениям, которые могут быть истинными или ложными. Эти утверждения можно объединить с помощью слов «и», «или» и «не». Получившиеся комбинации могут иметь свою истинность значения. Вот несколько примеров высказываний:

В настоящее время существует король Франции.

Собаки могут дышать под водой.

Когда светофор красный, автомобили должны остановиться.

Первые два высказывания ложные; третье – истинное. Вот несколько примеров смешанных высказываний:

Солнце светит, и коровы пасутся на холме.

Либо идет дождь, либо снег.

Автомобиль движется, и его колеса поворачиваются.

Давайте разберем каждый пример:

• В случае первой комбинации, если оба высказывания о коровах и о солнце являются истинными, тогда конечное высказывание тоже истина. Если одно из них ложное (или они оба ложные), тогда все высказывание тоже ложное.

• Во втором примере целое высказывание является истиной, если истиной является высказывание о дожде или снеге.

• И опять-таки в третьем примере высказывание истинное, если оба высказывания являются истинными. Если хотя бы одно из них ложное, тогда все высказывание тоже ложное.

Нововведением Буля было то, что он заметил, что можно представлять логические высказывания при помощи символов, которые используются в математике. Если, например, высказывание о солнце было представлено как Х, а высказывание о коровах как Y, вы в некотором смысле могли бы сложить два высказывания и получить значение истинности: 1 для истины, 0 для лжи.

Хотя «и», «или» и «не» – это не просто абстрактные идеи. Инженеры в ХХ веке научились представлять их физическим способом, в виде логических элементов. Эти элементы в конечном итоге стали включаться в транзисторы и компьютерные чипы и лежат в основе вычислительных расчетов, которые делает каждый компьютер и по сей день. Все расчеты выполняются на основе определенной электрической ситуации, будучи «правдой» или «ложью». Таким образом, под каждым модным экраном бьется математическое сердце.

Историки утверждают, что Джордж Буль в детстве сам выучил латынь. Позже он стал деканом факультета естественных наук в Квинс Колледже в городе Корк и женился на Мэри Эверест (племяннице Джорджа Эвереста, в честь которого была названа гора Эверест).

3.20. Математика скрывается в людях, родившихся в один день

Математическое понятие: теория вероятности

Иногда математика показывает аспекты мира, которые кажутся невозможными, но которые тем не менее являются правдой. Рассмотрим, например, парадокс дней рождения. В любой группе людей какова вероятность того, что у двух из них день рождения в один день? Вероятность, на первый взгляд, не так уж и высока, так как в году 365 дней. Кажется, что вероятность, что в какой-нибудь случайной группе людей двое из них родились в один день, невероятно мала.

А все же это не так. Шанс, что два человека из группы делят один день рождения намного выше, чем вы думаете. На самом деле, в группе, состоящей из 23 человек, вероятность составляет 50 %. Как такое возможно? В конце концов, если вы являетесь членом этой группы, остается 22 человека, которые могли родиться с вами в один день, так что существуют только 22 вероятности совпадения. Это число совсем не впечатляет. Но помните, что вы не сравниваете свой день рождения со всеми. Каждый человек сравнивает дни рождения друг с другом! Итак, помимо 22 сравнений с вашей датой рождения, существует и множество других.

Чтобы увидеть, как такое возможно, представьте всех 23 человек в виде точек, выстроенных в линию. (Если хотите, возьмите лист бумаги и карандаш, чтобы нарисовать их.) Для сравнения дня рождения человека № 1 начертите линии от первой точки до всех остальных. Теперь сделайте то же самое для человека № 2. Заметьте, что линия между человеком № 2 и человеком № 1 такая же, какую вы уже нарисовали от человека №#1 до человека № 2 в первый раз сопоставлений. Так как мы не хотим повторять эти сравнения, число сравнений для человека № 2 на один меньше, чем у человека № 1, то есть 21. Процесс продолжается: для человека № 3 число сравнений равно 20. Общее число сравнений в этом случае равно не 22, а 22 + 21 + 20 + 19 …, и в конце концов выходит 253.

Теперь мы подошли к принципу, который часто используется в математическом мышлении; а именно, чтобы установить истинность, нужно доказать, что обратное является ложью. Итак, как мы можем вычислить вероятность того, что у двух человек из 23 день рождения в один день? Итак, помните, что дата рождения человека имеет 365 возможных вариантов (исключаем 29 февраля, которое появляется на календарях в високосный год). Тогда вероятность совпадения дат рождения составляет 364/365, так как существуют 364 возможных дат, которые будут отличаться от изначальной даты. В итоге получается 99,726027 % вероятность, что любые два человека рождены в разные дни.

Теперь давайте применим это мышление к группе из 23 человек. Каждое сравнение имеет 99,726027 % вероятность несовпадения. Не забывайте, что в нашей группе существуют 253 возможных сравнения, тогда общая вероятность того, что никакие два человека не родились в один день, составляет 99,726027 % × 99,726027 % × 99,726027 % × …, и так 253 раза. (Мы можем написать эти расчеты сокращенно, как 99,726027253). Конечная вероятность равна 49,952 %. Если такова вероятность, что два человека не делят одну дату рождения, то вероятность того, что два человека родились в один день, составляет 50,048 %.

Поэтому в следующий раз, когда окажетесь в большой компании людей, спросите их даты рождения и посмотрите, что произойдет!

Согласно Мэтту Стайлсу, журналисту из National Public Radio, 16 сентября – самый популярный день рождения среди американцев в возрасте 14–40 лет. Он определил, что сентябрь и июль – наиболее распространенные месяцы рождения. Самым редким днем рождения стало 29 февраля, а потом 25 декабря.

3.21. Колокольный звон и математика

Математическое понятие: перестановка

При звоне колоколов на ум нам приходят религиозные службы, университетские городки, средневековые городские площади и, возможно, многолетняя рождественская реклама конфет Hershey’s Kisses. Но иногда звон колоколов имеет глубокую связь с математикой, особенно с перестановкой (расстановка определенного набора объектов, когда важен порядок каждого расположения).

Вид колокольного звона, который построен на математике, называется колокольным перезвоном, он требует командной деятельности, то есть в группе людей каждый отвечает за один конкретный колокол (количество колоколов обычно варьируется между 6 и 8, но может доходить и до 16). Такой звон колоколов вы могли слышать в фильмах после большой свадьбы или коронации короля. Обычно колокол с самым высоким звуком называется дискантом/малым колоколом, а с низким – большим колоколом. В любой группе малому колоколу присваивается номер 1, каждому последующему – следующая цифра. (Если всего 4 колокола, то большой колокол будет номером 4.)

В колокольном перезвоне в колокола звонят в определенном порядке так, чтобы ни один колокол не звонил дважды за один перезвон. С каждым перезвоном позиция одного колокола может меняться только на одну позицию. Так что звонари могут начать звонить в колокола в следующем порядке: 1, 2, 3, 4. Потом они могут звонить 2, 1, 4, 3, а потом 2, 4, 1, 3. Кроме того, каждый перезвон не должен повторяться. В конце звонарь возвращается к порядку 1, 2, 3, 4. Если вы живете в Северной Америке или хотите послушать колокольный перезвон своими ушами, зайдите на сайт североамериканской гильдии звонарей www.nagcr.org.