Рафаель Роузен - Математика для гиков

В колокольном перезвоне в колокола звонят в определенном порядке так, чтобы ни один колокол не звонил дважды за один перезвон. С каждым перезвоном позиция одного колокола может меняться только на одну позицию. Так что звонари могут начать звонить в колокола в следующем порядке: 1, 2, 3, 4. Потом они могут звонить 2, 1, 4, 3, а потом 2, 4, 1, 3. Кроме того, каждый перезвон не должен повторяться. В конце звонарь возвращается к порядку 1, 2, 3, 4. Если вы живете в Северной Америке или хотите послушать колокольный перезвон своими ушами, зайдите на сайт североамериканской гильдии звонарей www.nagcr.org.

Колокольный перезвон отличается от других видов колокольного звона, таких, как игра на карильоне, где музыкант сидит на стуле или скамье и нажимает на ряд рычагов, которые напоминают пианино. Самый большой карильон, состоящий из 77 колоколов, находится в пресвитерианской церкви Хиллз в Мичигане.

3.22. Байесовская статистика

Математическое понятие: байесовская вероятность

Если вы попросите студента назвать самый унылый, самый скучный, лишенный каких-либо компенсирующих качеств раздел математики, то он вполне может выбрать статистику. Одно лишь это слово вызывает в воображении образы калькуляторов и таблиц со сплошными числами. По крайней мере, такие образы вызывает стереотип.

А что, если я вам скажу, что статистика далеко не такая удручающая, как вы думаете?

Одним из способов убедить вас в этом будет рассказать о байесовской статистике, дисциплине, введенной Томасом Байесом, пресвитерианским священником, который жил в Англии в 1700-х. Тот вид статистики, с которым вы, возможно, знакомы, относится к частотной статистике. Если бы вы играли в блек-джек и вам бы выпали король и девятка, вы могли бы воспользоваться частотной статистикой и определить ваши шансы на блэк-джек при следующей раздаче карт.

Байесовская статистика, с другой стороны, постоянно пересматривает шансы по мере поступления новой информации. В случае игры в блек-джек вы не будете просто подсчитывать вероятность выпадения тройки или анализировать одни данные. Вы также будете держать в голове, какие карты уже сданы и мастерство дилера. С каждой новой информацией вероятность исхода игры пересматривается.

Однако байесовская статистика может намного больше, чем просто считать вероятность выигрыша в карточной игре. Она может спасать жизни. Например, ее использовали для нахождения Джона Олдриджа, рыбака, который упал со своего омароловного судна около побережья Лонг-Айленда в 2013 году. Его потеряли на обширной территории Атлантического океана, но когда береговая охрана приняла во внимание подводные течения в этом районе, а также путь, который прошел спасательный вертолет, им удалось сузить возможное местонахождение рыбака. Береговая охрана подсчитала примерное время падения Олдриджа с лодки, и компьютерная программа SAROPS проанализировала движение ветра и океанское течение, чтобы найти его наиболее вероятное местоположение в океане. Когда они, наконец, нашли его, он находился на плаву в течение 12 часов.

Классическим примером байесовского вывода является новорожденный ребенок, наблюдающий за восходом солнца. Каждое утро, когда ребенок наблюдает за восходящим солнцем, он получает все больше и больше доказательств, что солнце, на самом деле, взойдет и в следующее утро. Обновленная информация в форме новых наблюдений учитывается при ожидании ребенком будущих восходов солнца.

3.23. Бейсбол и уровень подачи питчера

Математическое понятие: статистика

Пожалуй, ни один вид спорта не содержит в себе столько математики, сколько бейсбол. Статистика пронизывает все аспекты игры, начиная от удара до подачи, и ни один серьезный любитель бейсбола не может не иметь хотя бы элементарных знаний о числах. Но как люди считают эти числа?

Давайте посчитаем уровень подачи питчера. Этот статистический показатель применяется только к питчерам, чтобы определить, насколько хороши их подачи. Изначально в игре не было подающих, выходящих на замену основному питчеру; подающий, который начал игру, должен был ее и закончить. Так что если кто-то хотел посмотреть, насколько эффективен был подающий, он мог просто посмотреть, сколько игр питчер выиграл. Но когда стали появляться дополнительные подающие, исход игры стал зависеть не от одного питчера, поэтому общее число побед и поражений не точно может показать мастерство конкретного питчера.

Подсчет уровня подачи питчера может эту проблему решить: он сосредоточен на иннингах, а не на всей игре. Чтобы посчитать уровень подачи питчера, вам нужно сложить количество ранов и поделить это число на количество иннингов, в которых подавал питчер. (Очки, заработанные на пробежке, – это те, что сделаны по вине питчера, а не по вине других игроков.) Потом вы умножаете это число на 9, количество иннингов в игре. Например, если питчер пропустил 30 ранов за 90 иннингов, то его уровень подачи равен 3.00.

На протяжении истории бейсбола показатель хорошего уровня подачи менялся, но чем он ниже, тем лучше питчер. В начале 1900-х у хорошего питчера был уровень ниже 2. В наши дни уровень ниже 4 считается респектабельным.

В сезонах МЛБ 2011–2014 у Клейтона Кершоу был самый низкий показатель среди всех действующих питчеров, в 2014-м он составлял рекордные для него 1.77. Для сравнения, самый низкий показатель за всю историю бейсбола был у Тима Кифа, который составлял 0.86 в сезоне 1880 года.

3.24. Деление бактерий

Математические понятия: теория узлов, фигуры, деление

В жизни каждого человека нет ничего более определенного, чем смерть и налоги, исключением может стать наличие бактерий. Эти крошечные организмы живут повсюду, на каждом континенте, в каждой среде, даже в нашем кишечнике, где они помогают нам переваривать пищу. Так как они очень маленькие, важным инструментом в их изучении является микроскоп. Но другим инструментом является математика, которая может прояснить аспекты жизненного цикла бактерий и, следовательно, способствовать здоровью человека.

В отличие от ДНК человека, бактериальный генетический материал не имеет форму двойной спирали. Вместо этого он имеет форму круга. Когда бактериальная клетка делится на две дочерние клетки, ее ДНК также должна поделиться на две части. И когда она делится, она запутывается и распутывается, пока не появляются два новых круга ДНК. Биологи долго изучали механизм деления бактерий, но им на помощь могут прийти математики.

Используя математический инструмент под названием анализ узлов, исследователи смогли лучше понять, как ферменты – молекулы, которые начинают и останавливают химические реакции, – соединяют и отсоединяют круг ДНК, включая фигуры, которые принимают молекулы. (Эксперименты показали ученым представление о процессе, но не пояснили конкретные шаги.)

Чем больше ученые будут узнавать о делении бактерий, тем лучше будут подготовлены к созданию нового поколения антибиотиков. Математика может стать причиной вашего быстрого выздоровления после вашей следующей болезни!

Ученые постоянно изучают микробы в нашем организме и то, какую пользу они нам приносят. В организме человека примерно 100 триллионов клеток, но только 10 % из них – это непосредственно ваше тело. Все остальное – это бактерии, вирусы и другие микроорганизмы.

3.25. Астролябии

Математическое понятие: стереографическая проекция

Стереографические проекции можно найти не только на настенных картах (см. главу 1.28). На протяжении сотен лет они были основой одного из самых популярных астрономических приборов в истории человечества: астролябии. Астролябия часто была выполнена из латуни и составляла по меньшей мере 6 дюймов в диаметре. Это был своего рода портативный компьютер, который помогал морякам делать важные расчеты о времени дня и ночи, высоте небесных тел над горизонтом, времени будущих восходов и заходов солнца и определять широты. Астролябии также использовались для астрологических вычислений. (Астрономия была связана с астрологией на протяжении сотен лет.)

Астролябии – один из старейших научных инструментов. Их применяли еще в Древней Греции, и технологии, использованные в астролябиях, сохранились в исламском мире в Средние века. На самом деле, их продолжали использовать во время эпохи Возрождения и до 1700-х, когда стал популярным секстант. (Зеркала в секстанте позволяли мореплавателям производить расчеты, основываясь на настоящем горизонте Земли, а не на «ложном» горизонте, на котором основывали расчеты пользователи астролябии.)

Астролябии могли производить сложные вычисления, хотя и состояли всего из нескольких частей:

• «Тарелка» представляла собой круглую металлическую деталь, на которой располагались все остальные детали.