Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор
Решить уравнения Эйнштейна — это значит найти коэффициенты gab. Но гравитационные уравнения должны решаться вместе с уравнениями для материи, состояние и движение которой также должны стать известными, как результат найденного решения. Также часто решают гравитационные уравнения в вакууме, то есть для областей пространства–времени, где нет материи. Тогда задачей является определить только метрику gob, анализ которой даст всю информацию об искривлении пространства-времени, его геодезических и т. д. Решение уравнений ОТО с большими деталями обсуждается в Дополнении 4.
После того как решение уравнений ОТО найдено, необходимо обратиться к принципам соответствия, которые были определены в конце предыдущего параграфа. Первый из них касается соответствия теории гравитации Ньютона. Принцип звучит чётко и довольно жёстко. Но так и должно быть, если мы не хотим ошибиться в интерпретации решений новой теории. Теория Ньютона в данном случае играет роль критерия.
Уже сейчас очень полезно для последующего изложения записать простые формулы этого соответствия. Мы уже говорили, что гравитация Ньютона представлена скалярным полем (потенциалом) φ. Для точечной массы М (или сферически распределённого вещества) скалярное поле вне вещества определяется как φ = -GM/r, где r — расстояние до центра тела. Тогда сила, действующая на тело массы m в этом потенциальном поле, определяется стандартной формулой закона всемирного тяготения:
Движение тел в таком поле хорошо изучено. Как найти соответствие с движением тел в ОТО? Для этого нужно найти пространство–время, геодезические которого, в приближении малых скоростей и слабого поля φ, соответствуют движению тел в теории Ньютона. Такое пространство–время легко находится, его метрика в обсуждаемом приближении имеет в сферических координатах простую форму:
В силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. Эту метрику иногда называют метрикой «пространства–времени Ньютона». Здесь g00 = 1 + 2φ/c2 = 1 — 2GM/rc2. Если нет тяготеющего центра, т. е. масса М = 0, то поле φ исчезает и метрика обращается в метрику пространства Минковского.
Этим мы отметили соответствие для движения тел в теории Ньютона и ОТО. Но также необходимо показать, что для слабых гравитационных полей и малых скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона. Но что такое уравнения тяготения Ньютона? Очевидно, что это должны быть уравнения для поля φ. Здесь приходится идти обратным путём. Мы знаем, какое поле создаётся каждой отдельной частицей. Если у нас имеется произвольное распределение плотности вещества р в пространстве, то для каждой точки нужно выписать соответствующее значение φ. А общее поле Φ в каждой точке пространства просто сложится из всех отдельных φ. Тогда получится, что поле Φ в каждой точке удовлетворяет уравнению:
Оказывается, что при всех ограничениях соответствия уравнения ОТО, действительно, сводятся к этому единственному уравнению.
Но на проблему связи между теориями можно посмотреть и с другой позиции. Сила Ньютона — это обычная сила, которая растягивает пружину динамометра, давит на поверхность Земли, держит, как на «цепочках» (или «резинках»), планеты в Солнечной системе. В ОТО ситуация другая. Представим, что нас одарили «божественной» способностью воспринимать искривлённое прост ранет вовремя. При этом мы в состоянии фантастически осознать, где там проходят геодезические (по аналогии с тем, что нашего реального восприятия достаточно, чтобы оценить, что шайба, брошенная по гладкой поверхности катка, движется равномерно и прямолинейно). Тогда для нас понятие гравитационной силы исчезло бы вообще. Все заменилось бы геометрией. Вместо воображаемых «цепочек», на которых Солнце «тащит» планеты, мы увидели бы нечто, похожее на воронку, в которой планеты свободно (по инерции) обращаются вокруг Солнца (рис. 6.3). Если какой‑нибудь планете придать достаточно большую скорость, то она «выскочит» из воронки (а на языке гравитации Ньютона — преодолеет солнечное притяжение) и улетит в космос. Проявление же силы тяготения в быту мы интерпретировали бы как препятствие движению по геодезическим. Так, и пружина динамометра, и поверхность Земли, препятствуют такому движению.
Рис. 6.3. Движение планеты
Теперь мы можем также пояснить фразу, прозвучавшую значительно ранее: «общая теория относительности не опровергла теорию Ньютона, а дополнила её для описания режимов (систем), которые во времена Ньютона и вообразить‑то было невозможно». Как и самые ранние представления о тяготении, так и теория Ньютона — это все‑таки попытки описать известные проявления гравитационного взаимодействия. Да, теория Ньютона позволила открыть новые планеты, Но это результат приложения все того же закона всемирного тяготения, который фактически интерпретируется как известное решение уравнений Ньютона. Уравнения ОТО поставили исследователей совершенно в другую ситуацию. Внешне простые, они оказались весьма сложными для поиска решений, которых оказалось великое множество. Часто не менее сложной оказалась интерпретация новых решений: если одни из решений были некими обобщениями гравитирующих моделей теории Ньютона, то другие «и вообразить‑то было невозможно». К последним, например, можно отнести решения для чёрных дыр, присутствие которых во Вселенной уже доказано. Но об этом немного позже.
Принцип соответствия специальной теории относительности связан с уравнениями для материи. При «отключении кривизны» эти уравнения, построенные в искривлённом пространстве–времени, должны перейти в уравнения в плоском пространстве Минковского. Мы это не конкретизируем, но приведём простой пример. Если в одном из решений в искривлённом пространстве–времени частица движется по кривой геодезической, то при «отключении» кривизны (гравитации) движение частицы переходит в движение по прямой — это очевидно.
Об Эйнштейне
О жизни Альберта Эйнштейна написано очень много. Мы ограничимся лишь некоторыми эпизодами и случаями из его жизни.
Интересной является история присуждения Нобелевской премии. Здесь нужно напомнить о работах Эйнштейна, которые были опубликованы в 1905 году.
«К электродинамике движущихся тел» — статья, которая вместе с работами Пуанкаре, стала основой СТО.
«Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» — статья, объяснявшая явление фотоэффекта и ставшая фундаментом квантовой теории. Именно за этот результат была присуждена Нобелевская премия за 1921 год.
«О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно–кинетической теорией теплоты» — работа по броуновскому движению, существенно продвинувшая статистическую физику.
Эти работы не только показали его силу теоретика, но и изменили лицо всей физики. А уже в 1915 году Эйнштейну удалось завершить построение ОТО. Основания для номинации на Нобелевскую премию были весомые. Однако, несмотря на очевидную значимость достижений, Эйнштейн не очень подходил для кандидата. Поскольку он был теоретиком, то зримая польза от полученных результатов была неочевидной. Мало того, его гражданская позиция пацифиста с левым уклоном была не в его пользу. Не последнюю роль играли и еврейские корни… И, наконец, только очень узкому кругу учёных достижения Эйнштейна были понятны, они в то время были совсем «непубличными».
Но в ноябре 1919 года результаты наблюдений солнечного затмения подтвердили предсказания ОТО. Вся мировая пресса взорвалась сенсационными сообщениями. Эйнштейн стал знаменитостью. Его приглашали с лекциями в университеты всего мира, от США до Японии. Тем не менее, на Нобелевский комитет это действовало мало, и премию за 1920 год ему не присудили.
Как сейчас известно, основным противником присуждения премии Эйнштейну был влиятельный член Нобелевского комитета, офтальмолог Альвар Гульстранд (1862–1930). Он был талантливым физиком–самоучкой, занимался преломлением света в сложных оптических системах, включая глаз, и получил Нобелевскую премию за 1911 год по физиологии и медицине. С 1911 по 1929 годы он был членом Нобелевского комитета по физике (с 1922 — председателем). Как знаток классической геометрической оптики, Гульстранд имел своё мнение по поводу как СТО, так и ОТО, и изо всех сил противился: «Эйнштейн не должен получить Нобелевскую премию, даже если этого требует весь мир!»
