Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор

В качестве принципов построения теории, конечно, необходимы принципы соответствия. В чем они должны состоять? В случае слабых гравитационных полей (малой кривизны пространства–времени) и малых (по сравнению со световой) скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона (их полевую форму мы обсудим несколько ниже). То есть предсказания общей теории относительности должны совпасть с результатами применения закона всемирного тяготения Ньютона с небольшими поправками, которые становятся значительными по мере увеличения напряжённости поля и увеличения скоростей, В случае отсутствия гравитации (нулевая кривизна) уравнения новой теории тяготения должны перейти в уравнения СТО.

Наконец, иногда в качестве принципов, на основе которых была построена ОТО, упоминают ковариантность — требование, чтобы уравнения теории имели один и тот же вид во всех координатных системах. Это требование в определённом смысле является обобщением лоренц-инвариантности в СТО.

Построение ОТО

Что может сравниться по красоте с… неизменным правилом закономерности, которое управляет самыми, казалось бы, беспорядочными и сложными из её [природы] проявлений?

Фактически все принципиальные предпосылки и необходимые требования для формулировки уравнений гравитационного поля в ОГО мы обсудили. Было осознано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространств а–в реме ни, а искривляется пространство-время под воздействием материк Оказалось также, что и тела, и материя в целом, воздействуют на прост ранет вовремя не только своей массой (или, эквивалентно, энергией), но и состоянием движения, напряжениями внутри тел, взаимодействием между разными видами материи. Больше деталей о материальных источниках можно найти в Дополнении 2. С другой стороны, искривляя пространство–время, материя движется (взаимодействует) уже в пространстве–времени искривлённом самой собой То есть пространство–время в общем случае не является безучастной ареной, на которой кипят страсти физических взаимодействий, а само становится динамическим объектом и во всем участвует. Уравнения Эйнштейна как раз устанавливают правила воздействия материи на пространство–время и наоборот.

Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании аргументов изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецким математиком Давидом Гильбертом (1862–1943). Научные интересы Гильберта во многом были связаны с математической физикой. С большим интересом он следил за попытками Эйнштейна создать общую теорию относительности, основанными на логике анализа физических явлений. Это вдохновило его на поиски строгого математического подхода к построению уравнений, которые и были выведены из, так называемого, принципа наименьшего действия. В общем, Гильберт имел планы «заковать физику» в рамки аксиоматического подхода. Но несмотря на впечатляющие результаты в построении уравнений гравитации, этот глобальный замысел Гильберта не удался. До сих пор ведутся споры о приоритете, однако мы считаем, что одни исследования дополняют другие. Если можно так сказать, то Эйнштейн проник в самую глубину физических явлений, а Гильберт дал аппарат, позволяющий исследовать их более эффективно.

Логика построения уравнений Эйнштейна и их конкретный формальный вид даны в Дополнении 3, а здесь мы разъясним основные понятия ОТО, к которым будем часто обращаться в основном тексте. Вернёмся к понятию интервала, который был введён для пространства Минковского. В отличие от плоского пространства, в искривлённом пространстве–времени расстояние между двумя мировыми точками в общем случае невозможно определить как конечную длину отрезка прямой. Необходимо перейти к измерениям в малой окрестности мировой точки {к бесконечно малым величинам). Тогда квадрат интервала пространства Минковского между двумя бесконечно близкими точками перепишется как квадрат элемента интервала (уже бесконечно малой величины) в виде:

Элемент пространства Минковского имеет такой простой вид ещё и потому, что здесь используются координаты Лоренца, то есть декартовы координаты в совокупности с временной координатой. Этот же квадрат элемента интервала (часто его все равно называют «интервал») может быть записан в более формальном виде:

Здесь a, b = 0,1,2,3; a нулевой координате обычно приписывают смысл временной, умноженной на скорость света: x0 = ct Величина ηab является диагональной (отличны от нуля только элементы на диагонали) матрицей 4x4,

и называется метрикой Минковского. формальная запись интервала перейдёт в уже привычную, если использовать простое правило суммирования по повторяющимся индексам, например: тaпa = т0п0 + m1п1 + т2п2 + т3п3. Метрика ηab) задаёт способ измерения расстояний в пространстве Минковского в лоренцевых координатах.

Давайте «искривим» координаты (сделаем их произвольное преобразование), тогда интервал примет вид:

Величина gab также называется метрикой и фактически задаёт способ измерения расстоянии в пространстве Минковского, но в тех координатах, в которых она определена.

Важно отметить, что элемент ds, так же как и сам интервал, инвариантная величина, то есть его значение остаётся тем же в любых координатах, Метрика gab — это тоже матрица 4x4, но теперь в общем случае она уже не диагональна, её компоненты g00, g01, g11, g12… могут быть какими‑либо функциями времени и пространственных координат, см. Дополнение 1.

В искривлённом пространстве–времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах — с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от gab к простому диагональному виду ηab во всем пространстве–времени, а для искривлённого — нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчёта! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.

Как элемент интервала, так и длина мировых линии (их полный интервал), также являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.

Пространственно–временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются также с помощью света. Скорость света не зависит от скорости излучателей, а для каждого локального наблюдателя, измеренная в его собственной системе отсчёта, имеет одно и то же стандартное значение с. При измерениях самым важным является то, что для света элемент интервала ds в силу инвариантности всегда равен нулю.

Если в наше время спросить даже не самого сведущего, но все таки образованного, человека: уравнения Эйнштейна — это уравнения чего? С большой вероятностью получишь ответ, что это уравнения гравитационного поля. А что такое гравитационное поле мы фактически только что рассказали — это поле метрики gab, или метрического тензора.

Именно это поле даёт возможность построить величины, определяющие искривление пространства–времени. Тензорное поле определяется аналогично тому, как определяются скалярное и векторное поля. Задать поле метрического тензора означает, что в каждой мировой точке пространства–времени нужно задать набор функций, каждая из которых соответствует одной из компонент матрицы, представляющей этот тензор.

Решить уравнения Эйнштейна — это значит найти коэффициенты gab. Но гравитационные уравнения должны решаться вместе с уравнениями для материи, состояние и движение которой также должны стать известными, как результат найденного решения. Также часто решают гравитационные уравнения в вакууме, то есть для областей пространства–времени, где нет материи. Тогда задачей является определить только метрику gob, анализ которой даст всю информацию об искривлении пространства-времени, его геодезических и т. д. Решение уравнений ОТО с большими деталями обсуждается в Дополнении 4.