Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор
Но каково свободное движение тела, если пространство–время искривлено? Здесь разумно снова вернуться к СТО и первому закону Ньютона. В инерциальной системе отсчёта такие тела движутся прямолинейно и равномерно. В искривлённом пространстве аналогом прямых линий являются геодезические.
Рис. 6.2. Линии кратчайшего расстояния на сфере
Их теория подробно разработана математиками XIX века.
Основной вклад внёс немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866). В искривлённом пространстве нет параллельных линий в понимании Евклида, сумма углов треугольника не равна 180°. Для примера рассмотрим поверхность Земли — это сфера, которая является 2–мерным пространством положительной кривизны. Что такое геодезическая на поверхности Земли? Это не прямая линия на карте, а дуга большого круга, который проходит через центр Земли (рис. 6.2). Именно с помощью такой дуги определяется кратчайшее расстояние между двумя точками на Земле. Сумма углов треугольника на поверхности Земли оказывается больше 180°.
Снова вспомним, что в релятивистской теории пространство и время не рассматриваются (не существуют) раздельно. Поэтому разумно рассматривать не траектории тел, а их мировые линии на пространственно-временной диаграмме. Инерциальному движению в плоском пространстве–времени соответствуют мировые линии, которые тоже прямые. А каковы мировые линии в искривлённом пространстве–времени? Опираясь на слабый принцип эквивалентности, Эйнштейн предложил принцип движения по геодезическим. Он звучит в одном из определений так: если нет других воздействий, кроме гравитационного, то тело движется свободно, по инерции, его мировая линия в пространстве–времени является геодезической. Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жёстко связанными с телом. Вспомним, что при обсуждении «парадокса близнецов» мы уже установили, что максимальное собственное время, требуемое для перемещения в плоском пространстве из одной мировой точки в другую, соответствует движению по прямой. Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с такой же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс. Отметим, что часто слабый принцип эквивалентности и принцип движения по геодезическим не разделяют.
Обсудим слабый принцип эквивалентности. Свободное движение какого‑либо тела по инерции в поле тяготения является обобщением свободного движения в инерциальной системе отсчёта в пространстве Минковского. Для такого движения взаимные ускорения всех свободных тел в ближайшей окрестности равны нулю. То есть собственная система отсчёта исходного тела локально является инерциальной.
Приведём пример, несколько избитый, но наглядный. Представим закрытую со всех сторон кабину лифта. Если удерживающий её трос вдруг оборвётся, то кабина вместе со всем содержимым начнёт свободно падать под действием силы тяжести, все тела в ней будут ускоряться совершенно одинаково. Наблюдатель, находящийся внутри такой кабины, не почувствует веса своего тела, а окружающие его предметы будут свободно «парить» в воздухе или двигаться прямолинейно и равномерно, не испытывая ускорений. Для стороннего взгляда все тела внутри кабины ускоряются точно так же, как и она сама (именно этот факт доказал Галилей), И поэтому всё в лифте для внутреннего наблюдателя окажется невесомым. Какие бы опыты он не проводил внутри кабины, он не сможет с их помощью установить, падает ли лифт на Землю или свободно парит в космическом пространстве.
Итак, внутри лифта (в небольшом объёме) наблюдатель ощущает себя вполне в пространстве Минковского и локально может использовать координаты Лоренца, Его мировая линия в этих координатах — это вертикальная линия вдоль оси ct. Следовательно, ускорение для наблюдателя в лифте отсутствует, а значит, отсутствует и «гравитационная сила». Но во внешней для лифта системе отсчёта эта же мировая линия (геодезическая) будет выглядеть как кривая.
Пусть пространство искривлено, как это определить? Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то, двигаясь по геодезическим, они начнут либо сближаться, либо удаляться друг от друга. Этот эффект называется девиацией геодезических. Как это осознать? Если два путешественника начнут перемещаться по двум близким меридианам, начиная от экватора, то они будут сближаться и встретятся на полюсе. Это как раз говорит о том, что поверхность Земли, имея форму сферы, искривлена. Если бы радиус Земли увеличился, то кривизна уменьшилась бы, ведь поверхность Земли стала бы площе. Аналогично, в пространстве–времени девиация геодезических определяет его кривизну.
Математически кривизна определяется так называемым тензором кривизны Римана, величиной, которую нельзя обратить в нуль никакими преобразованиями координат, если пространcтво–время искривлено. Это понятие исключительно геометрическое. Пространство–время становится искривлённым всегда, когда содержит материю в том или ином состоянии, так или иначе расположенную и движущуюся тем или иным образом. Однако оно может быть искривлено и в отсутствии материи! Для плоского пространства–времени тензор кривизны равен нулю.
Необходимо обсудить ещё один принцип, который чаще называют сильным принципом эквивалентности. Существуют разные его формулировки, приведём нечто усреднённое.
Малая по размерам локальная система отсчёта, находящаяся в гравитационном поле, неотличима от такой же системы, но ускоренной относительно инерциальной системы отсчёта, связанной с пространством Минковского.
Обычно этот принцип иллюстрируют следующим образом. Находясь в кабине, стоящей на поверхности Земли, наблюдатель ощущает свой обычный вес и замечает, что все предметы совершенно одинаково ускоряются по направлению к полу. Если же кабина, снабжённая реактивным двигателем, вместе с наблюдателем переместится в космическое пространство, где будет двигаться с ускорением, в точности равным гравитационному ускорению у поверхности Земли, то наблюдатель снова обнаружит, что все свободные предметы падают на пол с тем же самым ускорением и опять почувствует свой нормальный вес. В такой закрытой кабине невозможны никакие эксперименты, которые позволили бы наблюдателю отличить явления, связанные с тяготением, от явлений, характерных для ускоренного движения.
Часто считают, что этот принцип тоже лежит в основе общей теории относительности Однако это не так однозначно. Даже сейчас, почти через 100 лет после создания ОТО, в профессиональной литературе время от времени выходят статьи с обсуждением роли этого принципа. Даже его название является предметом дискуссии.
Приведём один из аргументов, который вносит некое сомнение в само представление об эквивалентности в этом случае. Основным отличием пространства–времени ОТО от пространства–времени СТО является его кривизна, которая (как было сказано) определяется тензором кривизны. В пространстве–времени СТО этот тензор тождественно равен нулю, поэтому пространство Минковского называют плоским. Если применить сильный принцип эквивалентности (а понятию «эквивалентность» придать абсолютный смысл) для описания движения в ускоренной системе в пространстве Минковского, то нужно будет сказать, что от плоского пространства–времени мы перешли к искривлённому пространству–времени ОТО. Но это невозможно, поскольку невозможно воссоздать из нулевой кривизны ненулевую лишь переходом между системами отсчёта. «Малые размеры системы отсчёта» в определении принципа не могут быть оправданием, поскольку кривизна — понятие локальное, она определяется в каждой точке.
Хотя в окончательную форму теории Эйнштейна сильный принцип эквивалентности не вошёл, исторически он сыграл большую роль в становлении ОТО. Эйнштейн при разработке теории активно его использовал. Также, если в принципиальном плане нельзя из плоского мира сделать искривлённый просто переходом в другую систему отсчёта, то многие эффекты теории Эйнштейна действительно имеют место в ускоренных системах отсчёта.
В качестве принципов построения теории, конечно, необходимы принципы соответствия. В чем они должны состоять? В случае слабых гравитационных полей (малой кривизны пространства–времени) и малых (по сравнению со световой) скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона (их полевую форму мы обсудим несколько ниже). То есть предсказания общей теории относительности должны совпасть с результатами применения закона всемирного тяготения Ньютона с небольшими поправками, которые становятся значительными по мере увеличения напряжённости поля и увеличения скоростей, В случае отсутствия гравитации (нулевая кривизна) уравнения новой теории тяготения должны перейти в уравнения СТО.
