Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Пара

Две пары

Тройка

Стрит

Флеш

Фул-хаус

Каре (или «четверка»)

Стрит-флеш

На этот случай есть эффективная «запоминалка»: «Раз, два, три, стрит, флеш; два-три, четыре, стрит-флеш» (где «два-три» – это фул-хаус).

А теперь предположим, что в колоде появились джокеры. Всего карт у нас становится 54, причем джокеры (всего их два) могут «превращаться» в карту любой масти и любого достоинства – в зависимости от того, что вам нужно для наилучшей комбинации. То есть если у вас на руках и джокер, разумнее всего будет посчитать его тузом, чтобы получилась тузовая тройка. Можно «превратить» джокера и в короля, конечно, но тогда у вас будет две пары, что хуже, чем тройка[12].

Но здесь-то и начинается самое интересное. Следуя традиционному порядку карт, мы можем посчитать эту комбинацию и как тройку, и как две пары, а можем – только как тройку, исключив ее из числа двух пар. Последнее выглядит наиболее разумно, но ведь это значит, что общее количество комбинаций с тройками значительно увеличивается, а с двумя парами – уменьшается, что превращает последние в более редкие. Мы, конечно, можем сказать, что теперь две пары имеют бóльшую ценность, но проблему этим не решишь: она всего лишь «перевернется вверх ногами», ведь количество двух пар увеличится, а количество троек – уменьшится. Из этого всего следует странный на первый взгляд вывод, сделанный математиком Стивом Гэдбойсом в 1996 году: при игре в покер с джокерами невозможно ранжировать «ценность» комбинаций по частоте их появления.

Закономерности треугольника Паскаля

Вот вам во всей его красе треугольник Паскаля:

Треугольники уже знакомы нам по главе 1, так что мы хорошо знаем, насколько интересные закономерности могут появляться из организованных таким образом чисел. Еще более интересные (и куда более красивые) закономерности получатся в треугольнике чисел о которых мы только что узнали. Такой треугольник называется Паскалевым – тот, который изображен чуть выше. У нас есть формула Давайте превратим все ее символы в числа и поищем закономерности (см. изображение треугольника чуть ниже). Большинство из них будут подробно описаны в этой главе, но, если объяснения вдруг покажутся вам скучными, можете смело их пропускать и просто наслаждайтесь стройной красотой самих закономерностей.

Верхний (или нулевой) ряд представлен одним-единственным значением – (не забывайте: 0! = 1). Каждый ряд начинается с единицы и ею же заканчиваются, потому что

Взгляните на пятый ряд:

Обратите внимание, что второе число в нем – 5, да и в принципе вторым числом ряда n будет n. Это все из-за за того, что количество способов выбрать один объект из множества n равно n. Также стоит обратить внимание, что каждый ряд

геометрически симметричен: чисел до центральной оси столько же, сколько и после нее. В том же самом 5 ряду мы видим

В целом же закономерность говорит о том, что

У таких симметричных отношений есть два объяснения. Первое – алгебраическое – с помощью формулы

Но так ли уж сильно она нам тут нужна? Почему, например, Число обозначает количество вариантов выбора 3 сортов мороженого из десяти (в вазочке, не в рожке). Но ведь это то же самое, что считать варианты выбора тех 7 сортов, которые мы не купим.

Следующая закономерность, которую легко заметить, заключается в том, что во всех, кроме 1-го, рядах каждое число есть, по сути, сумма двух других – тех, которые находятся прямо над ним. Посмотрите, например, на 9 и 10 ряды треугольника. Потрясающе, правда? Называются эти отношения правилом Паскаля.

Почему так происходит? Когда мы смотрим на равенство 120 = 36 + 84, мы, по сути, видим

Чтобы в этом разобраться, давайте попробуем ответить на один вопрос. Если имеется 10 сортов мороженого, сколько вазочек можно собрать из 3 шариков разных сортов (порядок шариков при этом не важен)? С одной стороны, мы уже посчитали это количество как Но есть и другой способ. Допустим, один из предлагаемых нам сортов мороженого – ванильное. Сколько вазочек у нас получится без него? Ответ – потому что тогда мы будем выбирать свои 3 сорта из 9 оставшихся. А сколько вазочек получится с ним? Конечно же, ведь нам останется выбрать только 2 сорта из 9 оставшихся. Получается, что общее количество вазочек будет равно Какой из этих ответов верен? И в том и в другом случае мы следовали абсолютно верной логике, поэтому и в том и в другом случае мы дали абсолютно верный ответ и получили абсолютно одинаковые результаты. Та же логика (или та же алгебра, если хотите) приводит нас к идее, что для каждого значения k от 0 до n

А теперь давайте посмотрим, что будет, если мы сложим все числа каждого ряда Паскалева треугольника (см. ниже).

Закономерность предполагает, что сумма всегда будет представлять собой степень двойки. Алгебраически: сумма чисел ряда n будет равна 2n. Как так получается? Эту закономерность можно описать и по-другому: сумма чисел (числа) 1-го ряда равняется 1 и затем удваивается от ряда к ряду. Объяснением этому служит правило Паскаля, природу которого мы только что объяснили, а обоснованность – доказали. Например, когда мы складываем между собой числа 5-го ряда и трансформируем их в зависимости от их связи с 4-м рядом, получается

то есть буквально удвоенная сумма чисел 4-го ряда. То же продолжается и дальше, вниз от вершины треугольника и до бесконечности.

С точки зрения биноминальных коэффициентов правило утверждает, что сумма чисел ряда n выглядит так:

что несколько неожиданно, поскольку отдельные значения соответствуют факториалам и являются делимыми самых разных чисел. И все же общая сумма основана на 2 и простом множителе.

Еще один способ объяснить эту закономерность – подсчет, а именно – комбинаторное доказательство. Чтобы объяснить сумму чисел 5 ряда (который ничем принципиально не отличается от ряда n), давайте вернемся к прилавку с мороженым, где на этот раз осталось всего лишь 5 сортов. Сколькими способами мы можем заполнить нашу вазочку? Единственное ограничение – сорта не должны повторяться. Мы можем взять 0, 1, 2, 3, 4 или 5 разных сортов, а порядок шариков не важен. Сколько получится вазочек с 2 шариками? Как мы уже знаем, посчитать их можно как Всего же, в зависимости

от количества шариков в вазочке и руководствуясь правилом суммы, получаем

вариантов, что можно упростить до 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1. С другой стороны, мы можем ответить на тот же вопрос, использовав правило произведения. Вместо того чтобы торопиться подсчитывать, сколько всего шариков может оказаться в вазочке, мы можем взять каждый из предлагаемых сортов и решить, покупать его или нет. Например, у нас есть 2 варианта выбора для шоколадного мороженого (берем или нет), 2 – для ванильного (берем или нет) и т. д. для всех 5 сортов (имейте в виду, что, решив не брать ни один из сортов, мы останемся с пустой вазочкой, что условия нашей задачи вполне допускают). Значит, возможных комбинаций будет

А раз в обоих случаях мы шли верным путем,

чего и следовало ожидать.

Тот же комбинаторный принцип доказывает, что, если посчитать сумму каждого второго числа в ряду n, у нас получится 2n–1. В этом нет ничего удивительного, когда мы берем нечетные ряды, вроде пятого, где числа, которые мы складываем (1 + 10 + 5), совпадают с теми, которые мы пропускаем (5 + 10 + 1). Поэтому-то у нас и получается ровно половина от 2n. Но ведь это работает и в четных рядах. Например, в четвертом: 1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 2³. Обобщая, мы можем утверждать, что в любом ряду n ≥ 1

Почему? Левая сторона считает вазочки с четным количеством шариков мороженого (при ассортименте из n сортов и при условии, что в своем выборе мы не повторяемся). Но ту же вазочку можно получить, просто выбрав сорта от 1 до n – 1. У нас есть 2 варианта выбора для первого сорта (берем или нет), 2 – для второго и т. д., вплоть до сорта n – 1. Но вот для самого последнего сорта выбора у нас нет (вернее, только один) – мы же хотим, чтобы общее количество сортов было четным. Значит, и четное количество вазочек будет равно 2n–1.