Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Как уже было сказано, правило суммы исходит из того, что в двух типах объектов каждый объект уникален. Но если у нас все же есть несколько объектов (в количестве c), принадлежащих к обоим типам, не считать же их дважды, правда? Значит, формулу придется немного изменить: a + b – c. Например, если в классе у 12 учеников есть собаки, у 19 – кошки, а у 7 – и собаки и кошки, получается, что общее количество учеников, держащих только одно животное, будет 12 + 19 – 7 = 24. Если перевести это в плоскость чистой математики, в промежутке от 1 до 100 у нас получится 50 чисел, кратных 2; 33 числа, кратных 3; и 16 чисел, кратных как 2, так и 3 (ну или кратных 6). Значит, количество чисел, кратных либо 2, либо 3, нужно подсчитывать так: 50 + 33 – 16 = 67.

Правило произведения применяется в том случае, когда вам нужно предпринять некое действие, которое состоит из двух частей. Если имеется a вариантов выполнения первой части и b вариантов второй, то для всего действия имеется a × b вариантов. То есть если у меня есть 5 разных пар брюк и 8 различных рубашек и если я (как и большинство математиков) при этом не особо озабочен вопросами стиля и сочетания цветов, общее количество возможных комбинаций составит 5 × 8 = 40. А если я еще решу надеть один из 10 своих галстуков (то есть мое действие будет состоять уже из трех частей: галстук, брюки и рубашка), комбинаций станет уже 40 × 10 = 400.

В полной колоде карт каждая карта принадлежит к одной из 4 мастей (пики, червы, бубны, трефы) и 13 достоинств (туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама и король). Значит, всего в полной колоде 4 × 13 = 52 карты. При желании все их можно разложить в виде прямоугольника со сторонами 4 на 13 – тем самым мы получим визуальное представление об общем количестве в 52.

Давайте применим правило произведения для подсчета почтовых индексов. Каково возможное количество пятизначных индексов? Каждый индекс – это пятизначное число, состоящее из цифр от 0 до 9. Наименьшее из них будет иметь вид 00000, а наибольшее – 99999[7]. Значит, всего имеется 100 000 вариантов. К тому же результату можно прийти с помощью правила произведения. У нас есть 10 вариантов выбора числа для первой цифры (от 0 до 9), 10 – для второй, и дальше по 10 для третьей, четвертой и пятой. Значит, имеем 105 = 100 000 вариантов.

В почтовых индексах числа могут повторяться. А если взять ситуацию, в которой объекты не могут повторяться – например, когда вы выкладываете предметы в ряд? Несложно заметить, что два объекта в каждой паре могут быть расположены двумя способами. Скажем, буквы А и B могут быть представлены либо как АВ, либо как ВА. Способов разложить 3 объекта у нас ровно 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. А можете представить в уме, без ручки и бумажки, 24 возможные комбинации 4 объектов? Начнем с выбора одного из четырех вариантов для начальной позиции (выбираем из четырех букв: А, B, C или D). Для второй позиции останется 3 варианта, для третьей – 1, для последней, четвертой, – всего лишь 1. Всего получается 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 варианта. Другими словами, для n объектов имеется n! вариантов их расположения.

А вот пример одновременного использования правил суммы и произведения. Допустим, некое государство выдает автовладельцам регистрационные номера двух типов. Номера первого типа состоят из 3 букв и 3 цифр, второго – из 2 букв и 4 цифр (в обоих случаях сначала идут буквы, потом – цифры). Сколько всего будет номеров (притом что мы можем использовать все 26 букв латинского алфавита и 10 цифр, не обращая при этом внимания на внешнее сходство, вроде О и ноль)? Сначала посчитаем количество номеров первого типа, применив правило произведения:

То же с номерами второго типа:

Так как один номер относится либо к первому, либо ко второму типу (и не повторяется), согласно правилу суммы общее количество возможных комбинаций – 24 336 000.

Но подобного рода подсчеты (математики даже выделяют такие упражнения в отдельную ветвь своей науки – комбинаторику) не приносили бы столько удовольствия, если бы не многообразие способов, которыми можно достичь желаемого (мы уже успели в этом убедиться, когда говорили об устном счете). Оказывается, то же количество автомобильных номеров можно посчитать за один шаг:

ведь для первых двух символов каждого номера существует 26 вариантов, для последних трех – 10, при этом третий символ может быть или буквой, или цифрой, а значит, возможных вариантов здесь будет 26 + 10 = 36.

Лотерея и покер

В этом разделе мы используем то, что только что узнали, для подсчета своих шансов выиграть в лотерею или собрать нужную комбинацию в покере. Но позвольте сначала предложить вам немного мороженого.

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя – их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке, если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно – в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

Другой способ представить 10 × 9 × 8 – 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек – Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом и равняется 120. Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n, из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k» и подсчитывается по формуле

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями, а числа вида  – биноминальными коэффициентами. Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр, хотя по сути это не комбинации, а перестановки, ведь порядок чисел, составляющих код, имеет большое, если не решающее, значение.

Если ваш продавец мороженого предлагает 20 разных сортов, то, направляясь туда с намерением купить 5 разных шариков (в случайном порядке), вам придется выбирать из

вариантов. Кстати, если на вашем калькуляторе не предусмотрено специальной кнопки, чтобы подсчитать просто наберите в любом поисковике «число сочетаний из 20 по 5»[8], и вы увидите веб-калькулятор с готовым ответом.

Биноминальные коэффициенты, впрочем, могут появляться и там, где порядок расположения объектов определенную роль все же играет. Если вы 10 раз подбросите монетку, сколько всего у вас будет возможных последовательностей результатов (вроде О-Р-О-Р-Р-О-О-Р-Р-Р или О-О-О-О-О-О-О-О-О-О)? Так как каждый бросок имеет два возможных исхода, правило произведения говорит нам, что их будет 210 = 1024, причем шансы выпадения каждой стороны абсолютно равны. (Некоторые, конечно, удивятся: вероятность того, что выпадет вторая комбинация, вроде бы куда ниже, чем у первой. Тем не менее шансы и у той, и у другой абсолютно равные – 1 к 1024.) С другой стороны, то, что за 10 бросков орел выпадет 4 раза, а не 10, куда вероятнее, ведь комбинаций с 4 орлами много, а с 10 – всего одна. Вот только «много» – это сколько? Подобная последовательность определяется количеством «орлиных» бросков, равным 4 из 10, соответственно, остальные броски должны закончиться выпадением решки. Количество способов определить, какие именно 4 из 10 бросков дадут нам орла, равно (все равно что выбирать 4 разных шарика мороженого из 10 сортов). Значит, наш шанс, что из 10 попыток 4 раза выпадет орел, если бросать симметричную, абсолютно уравновешенную монетку, равен

или примерно 20 % всех возможных комбинаций.