Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

То есть какую бы практическую задачу вы ни решали, вы можете превратить нужный вам год в один из тех, что составляют нашу таблицу, и таким нехитрым способом узнать его код. Почему, например, кодом 2017-го будет 0? Да потому что с 2000 года (имеющего код 0), календарь смещается по неделе 17 раз плюс дополнительно 4 раза за каждый високосный год – 2004-й, 2008-й, 2012-й и 2016-й. Значит, код 2017-го будет 17 + 4 = 21 ≡ 0 (mod 7). А что насчет 2020-го? Здесь у нас будет уже пять високосных годов (ведь сам 2020-й – високосный), поэтому календарь смещается 20 + 5 = 25 раз, а так как 25 ≡ 4 (mod 7), кодом 2020 года будет 4. Вот как будет выглядеть общая схема определения годовых кодов в промежутке с 2000-го по 2027-й.

Шаг 1: Возьмите две последние цифры года (в примере с 2022 годом этими цифрами будут 22).

Шаг 2: Разделите это число на 4. В результате нас интересует только целое, остаток можно проигнорировать (в нашем примере – 22 ÷ 4 = 5 с остатком 2).

Шаг 3: Сложите числа из первого и второго шагов (в нашем примере – 22 + 5 = 27).

Шаг 4: Возьмите ближайшее число, кратное 7, которое при этом будет меньше суммы, полученной после третьего шага (это может быть 0, 7, 14, 21 или 28). Вычтите его из этой суммы и узнаете код года (другими словами, сократите число из третьего шага по модулю 7: так как 27 – 21 = 6, кодом 2022 года будет 6).

Обратите внимание, что шаги с 1 по 4 работают для любого года в промежутке с 2000-го по 2099-й; можно значительно упростить себе задачу устного счета, просто вычтя на начальном этапе число, кратное 28, и получив таким образом год в промежутке с 2000-го по 2027-й. 2040 год, например, можно «упростить» до 2012, и шаги с 1-го по 4-й превращаются в элементарное 12 + 3 – 14 = 1. К тому же результату можно прийти, работая непосредственно с 2040: 40 + 10 – 49 = 1.

Алгоритм этот можно использовать не только для двухтысячных годов. Коды месяцев останутся такими же, а вот с кодами годов нужно будет сделать одну небольшую поправку. Код 1900 года будет равен 1. Следовательно, код каждого года в промежутке с 1900-го по 1999-й будет на одну единицу больше, чем их «собратья» в промежутке с 2000-го по 2099-й. То есть если код 2040-го – 1, значит, кодом 1940-го будет 2; а кодом 1922-го, например, будет 7 (ну, или 0), потому что 2022 год обозначается кодом 6. Код 1800 года – 3, 1700-го – 5, 1600-го – 0 (на самом деле на полный цикл у календаря уходит 400 лет, потому что именно четырехсотлетний период имеет 100 – 3 = 97 високосных годов, то есть ровно через 400 лет, день в день, календарь сместится на 400 + 97 = 497 дней, что даст нам абсолютно тот же день недели и то же число, ведь 497 кратно 7).

Хотите узнать, каким днем недели было 4 июля 1776 года? Сначала найдем код 2076 года, для чего вычтем 56 из 2076, а потом посчитаем код 2020-го: 20 + 5 – 21 = 4. Следовательно, код 1776 года будет 4 + 5 = 9 ≡ 2 (mod 7). Таким образом, получается, что по григорианскому календарю 4 июля 1776 года пришлось на

А раз так, может быть, те, кто подписывал Декларацию независимости, просто хотели успеть завершить все перед выходными?

Под конец главы давайте я расскажу вам о еще одном волшебном свойстве числа 9. Загадайте любое число, в котором ни одна цифра не повторяется, при этом идут они от меньшего к большему. Это может быть, например, 12 345, 2358, 369 или 135 789. Умножьте это число на 9 и сложите между собой цифры. В том, что результат будет кратен 9, для нас ничего нового нет – удивительным будет то, что цифры в своей сумме дадут ровно 9. Например,

Фокус сработает, даже если цифры будут повторяться – главное, чтобы они шли от меньшего к большему и чтобы разряд единиц не равнялся разряду десятков. Вот, смотрите:

Так в чем тут секрет? Давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножаем на 9 число ABCDE, в котором A ≤ B ≤ C ≤ D < E. Так как умножать на 9 – все равно что умножать на 10 – 1, мы приходим к вычитанию

Если считать слева направо, то, с учетом того, что B ≥ A, C ≥ B, D ≥ C, а E > D, мы будем иметь дело с

а сумма цифр результата составит

что и требовалось доказать.

Глава номер четыре

Магия счета

Математика с восклицательным знаком!

В самом начале этой книги мы говорили о том, как посчитать сумму всех чисел от 1 до 100. И мы справились – у нас получилось 5050. Также мы нашли замечательную формулу для подсчета суммы первых n. А почему бы теперь не поискать произведение чисел от 1 до 100? Даже по примерным прикидкам результат получится просто гигантским! Если вам интересно, скажу: это число, состоящее из 158 знаков. Вот оно:

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468

59296389521759999322991560894146397615651828625369792082

7223758251185210916864000000000000000000000000

В этой главе вы увидите, как использовать такие огромные числа для счета. Они помогут нам узнать, сколько существует способов расставить на книжной полке дюжину книжек (примерно полмиллиарда), какие у вас шансы собрать хотя бы одну пару в покере (не такие уж и маленькие) или выиграть в лотерее (не такие уж и большие).

Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,

Например,

Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.

Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ≥ 2 n! = n × (n – 1)! а значит

Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится

Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:

Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10²². А количество всех-всех атомов во Вселенной – 1080. Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.

В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.

Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:

Правило суммы и произведения

Большинство проблем с вычислением на самом деле сводятся к двум правилам – суммы и произведения. Правило суммы используется, когда нужно подсчитать общее количество имеющихся у вас вариантов выбора. Допустим, у вас есть 3 рубашки с короткими рукавами и 5 рубашек – с длинными. Но наденете-то вы только одну. Значит, вы стоите перед выбором одного из 8 вариантов. Обобщая, можно сказать, что, если у вас есть два типа объектов и количество объектов первого типа равно a, а объектов второго типа – b, всего у вас будет a + b разных объектов (естественно, предполагая, что ни один из объектов типа b не повторяется в типе a).

Как уже было сказано, правило суммы исходит из того, что в двух типах объектов каждый объект уникален. Но если у нас все же есть несколько объектов (в количестве c), принадлежащих к обоим типам, не считать же их дважды, правда? Значит, формулу придется немного изменить: a + b – c. Например, если в классе у 12 учеников есть собаки, у 19 – кошки, а у 7 – и собаки и кошки, получается, что общее количество учеников, держащих только одно животное, будет 12 + 19 – 7 = 24. Если перевести это в плоскость чистой математики, в промежутке от 1 до 100 у нас получится 50 чисел, кратных 2; 33 числа, кратных 3; и 16 чисел, кратных как 2, так и 3 (ну или кратных 6). Значит, количество чисел, кратных либо 2, либо 3, нужно подсчитывать так: 50 + 33 – 16 = 67.