Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Почему? Левая сторона считает вазочки с четным количеством шариков мороженого (при ассортименте из n сортов и при условии, что в своем выборе мы не повторяемся). Но ту же вазочку можно получить, просто выбрав сорта от 1 до n – 1. У нас есть 2 варианта выбора для первого сорта (берем или нет), 2 – для второго и т. д., вплоть до сорта n – 1. Но вот для самого последнего сорта выбора у нас нет (вернее, только один) – мы же хотим, чтобы общее количество сортов было четным. Значит, и четное количество вазочек будет равно 2n–1.

Если представить треугольник Паскаля как прямоугольный, можно увидеть еще больше закономерностей. Первый (или 0) столбец состоит из одних единиц, второй (или 1) – из положительных целых 1, 2, 3, 4 и так далее. Третий (или 2) столбец, начинающийся с 1, 3, 6, 10, 15… тоже нам хорошо знаком, ведь это треугольные числа, с которыми мы уже сталкивались в главе 1. Они также могут быть представлены как

Значит, столбик k будет состоять из чисел и т. д.

А теперь смотрите, что произойдет, когда мы сложим между собой несколько первых чисел любого столбца. Возьмем, например, первые 5 чисел 3 столбца (см. ниже). Получаем 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 – число, которое видим справа по диагонали от 15. Другими словами,

Называется эта закономерность правилом хоккейной клюшки, ведь форма обводки складываемых чисел, входящих в Паскалев треугольник, вместе с их суммой напоминает именно этот спортивный снаряд. Чтобы понять, на чем эта закономерность основана, представим себе хоккейную команду из семи игроков. У каждого на свитере порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько можно составить троек для проведения тренировки?

Поскольку порядок не важен, у нас получится А теперь давайте попробуем найти ответ на эту задачу, разбив ее на несколько поменьше. Во сколько троек будет входить игрок под номером 7? Иными словами, в каком количестве тренировок будет мелькать свитер с самым большим номером? Так как одно место в тройке занято семеркой, на остальные два места у нас остается вариантов. Идем дальше. Сколько тренировок посетит хоккеист с цифрой 6 на свитере? Включаем в свою задачу 6, исключаем из нее 7 и получаем вариантов для двух «вакансий». Точно так же нужно будет посчитать вариантов для номера 5,  – для номера 4 и  – для номера 3. Так как самыми большими числами могут быть 3, 4, 5, 6 или 7, мы просчитали все возможные варианты, поэтому тройка может быть сформирована способами – и это то же число, что было обозначено в левой части предыдущего уравнения. Обобщая, можно сказать, что

Давайте используем эту формулу для решения важной задачи, которая, без сомнения, заботит ваш ум каждый год во время новогодних каникул. Возьмем за основу популярную английскую народную песенку «Двенадцать дней Рождества»[13]: в первый день ваша настоящая любовь подарила вам 1 подарок (куропатку). На второй день – 3 подарка (куропатку и 2 горлиц). На третий – целых 6 (куропатку, 2 горлиц и 3 курочек). И так далее. Вопрос: сколько подарков у вас будет через 12 дней?

На n-ный день вы будете счастливым обладателем

подарков (получилось это из нашей суперполезной формулы для треугольных чисел или из правила клюшки при k = 1). Так вот, первый день – подарок, второй день – подарка и т. д., вплоть до 12-го дня, в который вы получите подарков. А правило хоккейной клюшки приводит нас к общему их количеству:

То есть если открывать по подарку каждый день – вам хватит их почти до конца года (ну, один можно пропустить в день рождения)!

Давайте теперь cпоем песенку, чтобы отпраздновать свой успех. Называется она «N-ный день Рождества».

В n-ный день Рождества послала мне любовь моя верная

n удивительных лакомств

n – 1 с одним вкусом,

n – 2 с другим; и остальных вкусностей

…

5 (плюс 10) всяких вкусностей!

А через n дней,

Усевшись считать подарки,

Сколько же я насчитал(а)?

Ровно

А вот одна из самых странных закономерностей Паскалева треугольника. На рисунке ниже отмечены все нечетные числа. Присмотритесь к ним и увидите в большом треугольнике несколько маленьких.

А теперь давайте сделаем вот что: сначала продлим большой треугольник до 16 рядов, а затем заменим все нечетные числа единицами, а все четные – нолями. Обратите внимание, что под каждой парой нолей, равно как и под каждой парой единиц, стоит ноль. Причина этого – в том, что при сложении 2 четных или 2 нечетных чисел сумма будет выражена четным числом.

Не будем на этом останавливаться: посмотрим на еще больший треугольник – из 256 рядов, – в котором все нечетные числа заменены черными квадратиками, а все четные – белыми.

По сути своей данная фигура – это фрактал, или рекурсивное изображение, известное так же как треугольник Серпинского, – один из огромного количества сокровищ, скрытых в глубинах Паскалева клада. А вот еще один. Сколько всего нечетных чисел в каждом ряду треугольника Паскаля? Смотрим на ряды с 1 по 8 (без нулевого) и считаем: 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2 и т. д. Вроде бы никакой закономерности. Кроме того, что у нас всегда получается число, являющееся степенью 2. Это и есть та самая, нужная нам закономерность. Обратите внимание, что ряды, количество нечетных чисел в которых равно именно 2, – это 1, 2, 4 и 8-й. То есть обозначены они числами, которые сами являются степенью 2. Для более общего вывода нам нужно вспомнить, что любое целое число, которое больше 0 или равно ему, можно получить от сложения степеней числа 2. Смотрите сами:

В рядах 1, 2, 4 и 8 (порядковые номера которых суть степени 2) у нас по 2 нечетных числа. В рядах 3, 5 и 6 (порядковые номера которых суть сумма двух степеней 2) у нас по 4 нечетных числа. В ряду же 7 (порядковый номер которого есть сумма трех степеней 2) – 8 нечетных чисел. Отсюда следует удивительное по своей красоте правило. Если n есть сумма p различных степеней числа 2, количество нечетных чисел в ряду n равняется 2p. Сколько, например, нечетных чисел будет в 83-м ряду? Так как 83 = 64 + 16 + 2 + 1 (то есть сумма четырех степеней 2), наш ответ будет 24 = 16!

Не будем на этом подробно останавливаться, но, если вам интересно, будет нечетным числом всякий раз, когда

при a, b, c и d равных нолю или единице. Говоря точнее, k будет равно одному из этих чисел:

И под самый конец главы – еще одна закономерность. Мы уже видели, что происходит, если сложить числа в рядах (степень 2) и столбцах («хоккейная клюшка») Паскалева треугольника. А что будет, если сложить их по диагонали?

Смотрите, какие суммы выходят:

Не буду томить вас. Это числа знаменитой последовательности Фибоначчи, которая окажется в центре нашего внимания в следующей главе.

Глава номер пять

Магия последовательности Фибоначчи

Числа матушки Природы

Лицезрите во всей красе одну из самых таинственных числовых последовательностей – последовательность Фибоначчи!

В ее начале находятся два одинаковых числа – 1 и 1. Третье число – это 1 + 1 (сумма двух предыдущих чисел), то есть 2. Четвертое – 1 + 2 = 3, пятое – 2 + 3 = 5 и т. д. и т. п. Очень похоже на чехарду: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21… Впервые эти числа в таком виде появились в книге 1202 года Liber Abaci («Книга абака», в буквальном переводе с латинского – «Книга вычислений») за авторством Леонардо Пизанского, впоследствии прозванного Фибоначчи. Значение этого труда для европейской цивилизации переоценить невозможно: он впервые знакомил западного читателя с индо-арабскими цифрами и ставшими уже привычными для нас арифметическими методами.