Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Еще один пример: если ответ получился 15 222 (то есть X + Y = 152, а X – Y = 22), большее из загаданных чисел – это (152 + 22)/2 = 174/2 = 87, а меньшее – 87 – 22 = 65.

Глава номер три

Магия 9

Самое магическое число

В детстве любимым моим числом была девятка: ее магия мне казалась бесконечной, неисчерпаемой. Просто следуйте следующим инструкциям и увидите все сами:

1. Задумайте число от 1 до 10 (или выберите большее целое число; если хочется, можете воспользоваться калькулятором).

2. Умножьте его на 3.

3. Прибавьте 6.

4. Снова умножьте на 3.

5. Теперь на 2, если хотите.

6. Сложите между собой цифры своего числа. Если в результате у вас получилось однозначное число, остановитесь.

7. А если двузначное, снова сложите между собой цифры своего результата.

8. Сконцентрируйтесь на ответе.

У меня стойкое ощущение, что у вас получилось 9. Правильно? Если нет – проверьте свои вычисления.

Что такого волшебного в девятке? Именно об этом мы и поговорим в этой главе; а еще мы заглянем в параллельное измерение, в котором числа 12 и 3 функционально друг от друга ничем не отличаются. Первое магическое свойство числа 9 становится явным, когда смотришь на ряд получаемых от него произведений:

Что общего между этими числами? Если вы сложите между собой цифры каждого из них, вы гарантированно получите 9. Давайте проверим: 18 состоит из 1 + 8 = 9, 27 – из 2 + 7 = 9, а, например, 144 – из 1 + 4 + 4 = 9. Постойте-ка, вроде есть одно исключение – 99. Сумма его цифр – 18, но 18 – это произведение 9 и 2. Вывод, который мы сделаем, может быть, и знаком вам по начальной школе. Чуть позже в этой главе мы приведем его объяснение. Так вот:

Например, если цифры числа 123 456 789 в сумме дают 45 (которое кратно 9), оно также кратно 9. А 314 156, сумма цифр которого равна 23 (которое на 9 не делится), таковым, наоборот, не является.

Чтобы понять, как это правило связано с фокусом, которым мы начали эту главу, и в чем, собственно говоря, его суть, обратимся к алгебре. Вы начали с определенного числа – назовем его N. После его утроения мы получим 3N, которые после следующего шага превращаются в 3N + 6. Повторное утроение дает нам 3(3N + 6) = 9N + 18, что равно 9(N + 2). Если вы это удвоили, у вас будет 18N + 36 = 9(2N + 4), если нет – в результате фигурирует произведение целого числа на 9, и вы в любом случае закончите числом, кратным 9. Сложив между собой его цифры, вы снова получите кратное 9 число (скорее всего, 9, 18, 27 или 36), сумма цифр которого должна опять же быть равна 9.

А вот другая разновидность того же фокуса – не менее мной любимая. Попросите кого-нибудь вооружиться калькулятором и загадать одно из следующих четырехзначных чисел:

Числа эти взяты не просто так: 3141 – первые четыре цифры числа π (см. главу 8), 2718 – первые четыре цифры числа e (см. главу 10), 2358 – цифры, соответствующие числам из последовательности Фибоначчи (см. главу 5), 9999 – самое большое из четырехзначных чисел. Затем нужно умножить выбранное вами число на любое трехзначное. Результат получится шести– или семизначным – и это все, что вы можете о нем знать. А теперь мысленно обведем кружком любую цифру ответа – любую, кроме ноля (он и без того похож на кружок!). Попросите своего зрителя назвать вам остальные цифры в любом порядке и сконцентрироваться на неназванной, обведенной кружком. Пора оглашать ответ – но для этого нужно приложить немного усилий.

В чем тут секрет? Начнем с того, что каждое из изначальных четырех чисел кратно 9. А раз вы начинаете с числа, кратного 9, и умножаете его на целое число, ответ тоже будет кратен 9. А еще сумма его цифр должна быть кратна 9. Поэтому надо просто сложить между собой числа, которые вам называют. Неназванная цифра – это число, которое необходимо прибавить к результату, чтобы он стал кратным 9. Например, зритель называет вам цифры 5, 0, 2, 2, 6 и 1. Их сумма равна 16 – до ближайшего числа, кратного 9 – а именно, 18 – не хватает 2. Если вы слышите цифры 1, 1, 2, 3, 5, 8, дающие в сумме 20, то зритель не назвал вам 7 – остаток, который необходимо добавить к 20, чтобы получить 27. А что, если сумма названных вам цифр уже равна 18 – что тогда нужно угадать? Правильно, 9: вы же просили не обводить кружком 0.

Почему же цифры, составляющие числа, кратные 9, в сумме всегда дают числа, тоже кратные 9? Посмотрите на такой пример: число 3456, разложенное на элементы с помощью умножения на 10, выглядит как

Следуя той же логике, любое число, сумма цифр которого кратна 9, само должно быть кратно 9 (и наоборот: любое число, кратное 9, при сложении составляющих его цифр даст нам результат, кратный 9).

Вычисление вычета по модулю 9

А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем, например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) + 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 – это 7 + 12 = 19, что чуть больше, чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно прийти, сложив цифры числа 19, потом – цифры числа 10, то есть вот какая последовательность у нас получается:

Процесс сложения между собой цифр числа и повторение этой операции до тех пор, пока не получится однозначное число, называется вычислением вычета по модулю 9, ведь на каждом этапе вы занимаетесь тем, что вычитаете число, кратное 9. Получаемое в итоге однозначное число называется цифровым корнем изначального числа. Например, числовой корень 3457 – 1, а 3456 – 9. Давайте попробуем вкратце суммировать все сказанное. Для каждого натурального n:

Алгебраически, обозначив цифровой корень числа n как r, получаем:

где x – целое число. Вычисление вычета по 9 – забавный способ проверить результаты, полученные в результате сложения, вычитания и умножения. Например, сумма верна, если ее цифровой корень равен сумме цифровых корней складываемых чисел. Хотите конкретнее? Давайте посчитаем

Обратите внимание, что цифровые корни слагаемых чисел равны 5 и 6, а цифровой корень их суммы (11) равен 2. И совсем не случайно, что цифровой корень результата (134 651) тоже имеет цифровой корень, равный 2. Причина всего это кроется в следующей алгебраической формуле:

Если числа не совпадают, вы наверняка где-то ошиблись. И вот что важно: даже если числа совпадают, это еще не значит, что ответ верный, хотя в 90 % случаев проверка результата цифровыми корнями работает безотказно и позволяет быстро найти ошибку. Однако, случайно поменяв местами две цифры, вы этого не заметите, ведь сумма цифр от этого не изменится. А вот появление неправильного числа говорит об ошибке, если только ошибка не связана с заменой 0 на 9 или 9 на 0. Этот же метод можно использовать, когда нам нужно сложить друг с другом длинный столбец чисел. Представим, вы зашли в магазин и купили несколько продуктов по следующим ценам:

Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень – 5, а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность, потому что цифровой корень 32 – тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа, что были у нас в позапрошлом примере:

Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.