Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.

А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите – с калькулятором, хотите – без.

1. Задумайте любое дву– или трехзначное число.

2. Сложите между собой его цифры.

3. Вычтите результат из задуманного числа.

4. Сложите между собой цифры полученной разности.

5. Если получилось четное число, умножьте его на 5.

6. Если нечетное – на 10.

7. Вычтите 15.

Получилось 75, да?

Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11, а потом – 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 – нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали с трехзначного числа – 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом 831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 – четное число. Дальше делаем 18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.

Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T, само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9. Когда мы вычитаем из загаданного числа T, мы гарантированно получаем результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма – 11; мы вычитаем 11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 – точно, как в наших примерах.

Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:

При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе метода FOIL, о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют формы 9x + 5 и 9y + 6, где x и y – целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем

При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется, но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9. Иногда его называют «ведическим». Возьмем

Представим это в следующем виде:

Продублируем первую цифру над чертой, там же – но уже над последней цифрой – напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:

А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1 и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего частного будет 3.

Потом 3 + 3 = 6.

Затем 6 + 0 = 6.

И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.

И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже не верится, правда? Приведем еще один пример:

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:

Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом 8 + 1 = 9, и в конце – 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз 14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490 и 5 в остатке.

А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что

Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9 и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении 4821 ÷ 9, мы делаем вот что:

Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого – 5 + 1 = 6; в результате получаем 535 с остатком 6 – взгляните:

Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее. Попробуем 98 765 ÷ 9.

Мы начинаем с 9, складываем 9 + 8 = 17, отмечаем запоминаемую единицу и вычитаем 9, чтобы получить вторую цифру – 8. Дальше у нас идет 8 + 7 = 15, мы отмечаем еще одну единицу и пишем 15 – 9 = 6. 6 + 6 = 12 – значит, «на ум идет» уже третья единица, – считаем 12 – 9 = 3. И остаток: 3 + 5 = 8. С учетом запомненных единиц получаем 10 973 с остатком 8.

Если вам уже нравится деление на 9, попробуйте делить на 91. Возьмите любое двузначное число и просто делите его на 91 без остановки, множа количество знаков после запятой, пока не надоест. И никаких столбиков, никаких калькуляторов! Нет, кроме шуток! Вот, смотрите:

Если говорить конкретнее, ответ тут – , где линия над цифрами 582417 означает, что они повторяются до бесконечности. Откуда эти числа берутся? На самом деле это деление ничуть не сложнее умножения исходного двузначного числа на 11. С помощью метода, о котором мы говорили в главе 1, считаем 53 × 11 = 583. Вычитаем из этого числа единицу и получаем первую половину нашего ответа, а именно – 0,582. Вторая половина – это разность, полученная при вычитании первой половины из 999: 999 – 582 = 417. В результате получаем .

Еще один пример – 78 ÷ 91. Здесь 78 × 11 = 858, то есть ответ будет начинаться с 857. Затем 999 – 857 = 142, поэтому 78 ÷ 91 = . Это число нам уже встречалось в главе 1, потому что 78/91 легко упрощается до 6/7.

Метод этот работает, потому что 91 × 11 = 1001. Поэтому в первом примере А так как 1/1001 = , мы получаем повторяющуюся часть нашего ответа из 583 × 999 = 583 000 – 583 = 582 417.

91 = 13 × 7 дает нам отличный способ делить числа на 13, усложняя их, чтобы получить в знаменателе 91. Например, 1/13 = 7/91, а так как 7 × 11 = 077, у нас получается

Точно так же 2/13 = 14/91 = , потому что 14 × 11 = 154.

Магия 10, 11, 12 и модульной арифметики

Многое из того, что мы узнали о девятке, справедливо и в отношении других чисел. Вычисляя вычет по модулю 9, мы, по сути, заменяем числа тем, что осталось от их деления на 9. Не думаю, что для вас это большая новость. Каждый из нас делает это практически каждый день – с тех самых пор, когда мы научились называть время. Допустим, часы показывают ровно 8 (утра или вечера – неважно). Сколько они будут показывать через 3 часа? А через 15 часов? А через 27? А сколько они показывали 9 часов назад? Первые числа, которые возникают в сознании – 11, 23, 35, –1, но стоит нам вспомнить, что речь идет о часах, мы понимаем, что ответ на все эти вопросы будет один и тот же – 11 часов, ведь все заданные промежутки должны считаться от 12. Математики используют для этого такого вот вида запись:

Обобщая, мы можем сказать, что a ≡ b (mod 12), где и a, и b отличаются на число, кратное 12. Соответственно, a ≡ b (mod 12), если и a, и b при делении на 12 имеют один и тот же остаток. Иными словами, для любого целого значения m мы говорим, что два числа a и b равны (сравнимы) по модулю m, что обозначается как a ≡ b (mod m) где и a, и b отличаются на число, кратное m. По сути, это значит, что

Самая интересное в таких сравнениях по модулю – что ведут они себя абсолютно так же, как и обычные уравнения. Вот почему мы можем пользоваться здесь модульной (модулярной) арифметикой, то есть арифметическими действиями над абсолютными значениями чисел и спокойно их складывать, вычитать и умножать. Например, если a ≡ b (mod m), а с – это любое целое число, верно будет, что