Фрэнк Вильчек - Красота физики. Постигая устройство природы

Тот же самый принцип остается в силе для других октав, основанных на других тонах, и для других комбинаций двух нот, пока их частоты не оказываются слишком близки. (В качестве предельного случая мы можем соединить два звука с одной и той же частотой и интенсивностью, но с разными фазами – и вместо октавы взять унисон. Теперь, меняя относительную фазу, мы будем всегда получать комбинированный тон с унисонной частотой, но с переменной фазой и интенсивностью[124]. Изменения последней легко воспринимаются.)

Процесс преднамеренного объединения, или абстракции, имеет смысл как стратегия для обработки информации. В естественном мире и в мире простых музыкальных инструментов (в том числе голосов), в том или ином случае обычные источники часто создают октавы с различными, по большей части случайными относительными фазами. Если бы эти различные волновые формы воспринимались по-разному, мы были бы перегружены бесполезной в основном информацией и, возможно, с большим трудом смогли изучить, распознать и оценить полезное общее понятие октавы. По всей видимости, эволюция была рада облегчить эту нагрузку.

Подобным образом, люди с неидеальным музыкальным слухом – а это подавляющее большинство – смешивают большое количество отличающихся физически «октав», основанных на различных нотах (но см. обсуждение о запоминании немного ниже). Таким образом, они подавляют информацию и о фазе, и об абсолютной частоте, но сохраняют относительную частоту.

Принимая во внимание то, что может быть полезно подавить не относящуюся к делу информацию, чтобы создать полезную абстракцию, возникает вопрос, как это сделать. Это интересная проблема «обратного инжиниринга». Я могу придумать три простых, более или менее биологически возможных способа, которыми можно этого добиться:

• Нервные клетки (или небольшие сети нервных клеток), которые отвечают на колебание в разных частях базилярной мембраны, могут быть механически, электрически или химически соединены друг с другом таким образом, чтобы их отклики были синхронизированы по фазе. Это явление в физике и инженерном деле известно как фазовая синхронизация. Легкий вариант реализации этой концепции состоит в том, что может существовать класс нервных клеток, который получает колебательные сигналы от двух таких нервных клеток (или напрямую от колеблющихся волосковых клеток во внутреннем ухе) и отвечает таким способом, который не зависит от их относительной фазы.

• Могут быть банки (группы) нервных клеток, которые реагируют на колебания в любой точке базилярной мембраны с разными сдвигами по фазе. Когда две группы выходных сигналов, соответствующие двум разным местоположениям, совмещаются, среди них обязательно будет такие, которые синхронизированы. Последующий уровень нервных клеток, получающий входящий сигнал от этих банков, может сильнее реагировать на эти синхронизированные пары.

• Могут быть стандартные представители для каждой частоты – нервные клетки, выход которых фиксирован по отношению к общему временному механизму. Тогда относительная фаза между стандартными представителями всегда будет одной и той же, какой бы ни была относительная фаза входного сигнала.

Я не вношу в этот список простую, но радикальную возможность просто закодировать места, где базилярная мембрана сильно вибрирует, вообще не разбираясь во временной структуре пиков и впадин. (Это аналогично тому, что происходит с электромагнитными колебаниями в процессе зрительного восприятия.) При таком кодировании фазовая информация, конечно, теряется, но я думаю, что это уже слишком. Так мы не сумели бы объяснить открытие Пифагора, поскольку отношения частот более не соотносились бы с закономерностями закодированного сигнала.

Бенджамин Франклин страстно увлекался музыкой. Он великолепно играл на стеклянной гармонике – утонченном инструменте, для которого Моцарт написал очень красивую пьесу (адажио К-356, доступную бесплатно на нескольких сайтах в Интернете). В письме лорду Камесу (1765 г.) Франклин сделал несколько ценных замечаний о музыке, в том числе это, особенно глубокое:

На самом деле в обычном восприятии только согласованная последовательность звуков называется мелодией и только сосуществование согласующихся звуков – гармонией. Но поскольку память способна запоминать на некоторое время идеальный образ высоты прозвучавшего звука, чтобы затем сравнить ее с высотой последующего звука и судить истинно об их согласованности или несогласованности, из этого может возникать и возникает чувство гармонии между настоящим и прошлым звуками, доставляющее такое же удовольствие, как от двух звучащих в настоящий момент звуков.

Тот факт, что мы можем сравнивать частоты тонов, сыгранных в немного разное время, является сильным доводом в пользу существования сети нервных клеток, которые воспроизводят и ненадолго запоминают принятый рисунок колебаний. Эта вероятность, думаю, хорошо согласуется с нашей обычной идеей представления, поскольку такие сети могут воплощать стандартные представления. Здесь заслуживает внимания то, что восприятие относительной высоты звука соответствует простому сравнению стандартных представлений, а это иная задача, нежели узнавание абсолютной высоты звука.

Относительно этого круга идей заслуживает также внимания то, что мы способны более-менее поддерживать заданный темп в течение длительного периода времени. Это снова говорит в пользу существования настраиваемых колебательных сетей в нашей нервной системе, но на этот раз для значительно более низких частот.

Я не обладаю идеальным слухом, что меня огорчает. Я пытался обойти свою акустическую абстракцию относительной высоты звука, стимулируя некоторого рода искусственную синестезию. Я написал программу, чтобы случайным образом проигрывать определенные звуки вместе с определенными цветами. Позже я проверял себя то на одних данных, то на других, пытаясь предсказать парный сигнал. После многих утомительных подходов у меня получилось скромное улучшение по сравнению со случайным угадыванием. Возможно, существуют более эффективные способы, или же этого легче добиться молодым людям.

Чтобы определить, находятся ли высказанные здесь конкретные идеи о гармонии на верном пути, потребовалась бы напряженная экспериментальная работа. Но было бы здорово через два с половиной тысячелетия после Пифагора дойти до сути его великого открытия и тем самым воздать честь повелению дельфийского оракула: «Познай самого себя».

Платон I: Структура из симметрии – платоновы тела

Кажется вполне естественным задать вопрос, не можем ли мы выйти за пределы обнаруженного нами (или, скорее, Евклидом) ограничения, в соответствии с которым возможно лишь пять платоновых тел, рассматривая платоновы поверхности более общим способом. Вспомним, мы говорили, что в одной вершине не может сходиться более шести треугольников, потому что тогда сумма их углов составит больше 360°, а это больше того пространства, которое имеется в одной вершине. С шестью треугольниками мы получаем плоскость как платонову поверхность.

С тремя, четырьмя или пятью треугольниками мы, делая проекцию из центра нашей платоновой поверхности на описанную сферу, получаем правильные сечения сферы. Это возможно, потому что равносторонние сферические треугольники имеют углы больше 60°, поэтому мы можем окружить вершину менее чем шестью из них. Это другой способ представления обоих классов платоновых тел – как правильные сечения плоскостей или сфер.

Таким образом, мы пришли к тому, чтобы спросить более конкретно: можем мы представить себе другой вид поверхности, где углы будут меньше? Тогда мы, возможно, придумаем платоновы поверхности, где в одной вершине сходятся более шести треугольников.

Мы действительно можем это сделать! Что нам нужно, так это поверхность, которая получается в результате деформации плоскости таким образом, чтобы она изогнулась наружу, а не внутрь – так, как мы делаем, чтобы получить сферу. Седловидная форма дает необходимый эффект. На ней мы можем представить себе правильные сечения, основанные на вершинах с семью треугольниками или даже с большим их количеством (вообще говоря, произвольным). Если говорить более точно, математическая фигура, известная как трохоида, дает правильную седловидную форму, позволяющую сохранить все в симметрии, чтобы каждая вершина и каждый треугольник (или другая фигура) выглядели бы одинаково.