Фрэнк Вильчек - Красота физики. Постигая устройство природы

Для точных вычислений и в приложениях, где есть несколько частиц, движущихся с околосветовыми скоростями, нужно использовать полные релятивистские формулы для энергии движения, и ее разделение на энергию массы и кинетическую энергию становится искусственным.

В интересах читателей, немного владеющих алгеброй, привожу эту формулу:

Когда модуль скорости много меньше скорости света, υ << c, это выражение становится приближенно равно сумме энергии массы mc² и ньютоновской кинетической энергии mυ2/2, как мы описали выше. По мере того как модуль скорости приближается к скорости света, энергия движения растет неограниченно.

Потенциальная энергия, если качественно, это энергия положения, или расстояния. Например, потенциальная энергия камня вблизи поверхности Земли может быть запасена, если поднять камень, или потрачена, если его уронить. По мере того как камень падает после того, как его отпустили, его скорость, а значит, и его кинетическая энергия, растет. Следовательно, чтобы соблюсти сохранение энергии, его потенциальная энергия должна уменьшиться.

Понятие потенциальной энергии можно расширить, чтобы оно охватывало многие более общие случаи. Когда тела действуют с какими-то силами друг на друга, потенциальная энергия, связанная с их взаимодействием, является функцией расстояния между ними. Потенциальная энергия – энергия расстояния – это естественное понятие для теорий, основанных на дальнодействии, таких как теория гравитации Ньютона. Как и эти теории, она остается полезной во многих приложениях, где она предоставляет достаточно хорошее, удобное для пользователя приближение. Но в фундаментальной физике со времен революции, начатой Фарадеем и Максвеллом, передающие взаимодействие поля заменили дальнодействие. Энергия поля заменяет потенциальную энергию.

Энергия поля запасена по всему пространству, где есть не равные нулю поля. Например, плотность энергии поля, связанная с электрическим полем в точке пространства, пропорциональна квадрату модуля электрического поля в этой точке.

Возможность замены понятия потенциальной энергии, зависящей от расстояния, понятием энергии поля, определяемой локально, одновременно глубока и очень красива. Рассмотрим потенциальную энергию между положительно (электрически) заряженной и отрицательно заряженной частицами. По примерно таким же причинам, какие мы обсуждали в связи с камнем вблизи Земли, существует потенциальная энергия, связанная с расстоянием между этими частицами. В описании Фарадея – Максвелла то же самое количество энергии появляется совершенно иным образом. Оба наших заряда создают электрические поля, и полное электрическое поле равно сумме их вкладов. Плотность энергии, связанная с полным электрическим полем равна его квадрату, и значит, содержит не только квадраты каждого поля по отдельности, но также и перекрестный член, отражающий их одновременное присутствие. (Если эта идея вам не знакома, давайте на мгновение вернемся назад. Квадрат числа (1 + 1) = 2, т. е. 2 × 2 = 4, не равен удвоенному квадрату единицы, т. е. двум. Есть еще один вклад, или перекрестный член, когда два независимых вклада в сумму встречаются в ее квадрате. В более общей алгебраической записи мы имеем (a + b)² = a² + b² + 2ab с перекрестным членом 2ab.) Перекрестные члены, которые появляются в полной плотности энергии поля, будут зависеть от относительной геометрии двух полей, из которых это поле состоит, которая в свою очередь зависит от относительного расстояния между частицами. Когда вы вычислите полную плотность энергии, включая вклады от всего пространства, чтобы получить полную энергию поля, вы обнаружите, что вклад этих перекрестных членов в точности совпадает с потенциальной энергией в старой теории и может ее заменить.

В этом примере энергия поля – это всего лишь другой (и более сложный!) способ прийти к тому же ответу, как и в случае потенциальной энергии. Но в более полном физическом представлении фундаментальные законы формулируются локально и естественным образом приводят к энергии поля. Потенциальная энергия – это приближенное производное понятие, полезное в некоторых задачах, но не подходящее для других.

Сохранение энергии и в конечном счете энергию саму по себе лучше всего можно понять с помощью обобщенной теоремы Нётер, которая связывает законы сохранения с симметрией. В таком подходе сохранение энергии свидетельствует о симметрии (инвариантности) физических законов относительно трансляции (сдвига) во времени – т. е. относительно преобразования, при котором все события сдвигаются вперед (или назад) на один и тот же интервал времени. Другими словами, сохранение энергии имеет место, когда законы не зависят от какого-либо заданного извне фиксированного времени.

В квантовом мире энергия приобретает дополнительные, очень тонкие и красивые свойства. Особенно примечательно соотношение Планка – Эйнштейна, которое связывает энергию фотонов и их цвет. В сочетании с идеями Бора эта связь позволяет нам расшифровать понятие спектра. Цвета спектрального света атома кодируют энергии его стационарных состояний, предоставляя видимую Музыку Сфер.

См. Энергия.

У каждого атома есть очень небольшая центральная часть, или ядро, которое содержит весь его положительный заряд и почти всю его массу. Как описано в главе «Квантовая красота III», исследование атомных ядер повлекло за собой открытие существования в Природе двух новых сил, сильного и слабого взаимодействий, и привело в течение XX в. к нашей изумительной Главной теории.

Массивная частица, которая играет одну из главных ролей в слабом взаимодействии. См. Слабое взаимодействие и Викон.

Массивная частица, которая играет одну из главных ролей в слабом взаимодействии. См. Викон.

Примечания

Пифагор II: Число и гармония

Даже самые основные факты о музыкальном восприятии поднимают интереснейшие вопросы. Два простых наблюдения в особенности кажутся мне имеющими отношение к оставленной нам в наследство загадке Пифагора: «Почему именно те пары звуков, частоты которых соотносятся как небольшие целые числа, обычно воспринимаются нами как гармоничные?»

Когда мы говорим об интервале в октаву, мы имеем в виду, например, что до первой октавы и до второй октавы с удвоенной частотой звучат одновременно. Чтобы упростить явление слияния до его сущности, давайте предположим, что с помощью электронных средств мы производим строго чистые звуки и что интенсивность (громкость) обоих одинакова. Эти параметры еще не дают нам уникальной инструкции по созданию формы результирующей звуковой волны, которую должен воспроизвести компьютер и которая достигнет нашего уха. Две синусоидальные волны не обязаны быть синхронизированными: пики одной из них могут совпадать или не совпадать с пиками другой. Мы говорим, что существует фазовый сдвиг между двумя тонами. Формы результирующей волны, построенные как функция от времени, могут выглядеть очень по-разному в зависимости от значения фазового сдвига. Но звучат-то они не по-разному! Я сам проводил этот опыт и еще многие, связанные с ним. Отклик базилярной мембраны разделяет звуки в пространственном отношении, но сохраняет информацию об их относительной фазе. (Так я понял из достаточно сложной для восприятия литературы. Эксперименты на структурных элементах внутреннего уха не просты и почти всегда проводятся в лабораторных условиях.) Тем не менее мы каким-то образом объединяем все эти возможности на низовом уровне обработки и распознаем результат как октаву до – и точка. Мы сводим воедино сигналы, представляющие непрерывный диапазон физических свойств, в единое восприятие, чтобы создать полезную абстракцию.

Тот же самый принцип остается в силе для других октав, основанных на других тонах, и для других комбинаций двух нот, пока их частоты не оказываются слишком близки. (В качестве предельного случая мы можем соединить два звука с одной и той же частотой и интенсивностью, но с разными фазами – и вместо октавы взять унисон. Теперь, меняя относительную фазу, мы будем всегда получать комбинированный тон с унисонной частотой, но с переменной фазой и интенсивностью[124]. Изменения последней легко воспринимаются.)