Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

100

Геттисбергская речь Авраама Линкольна 19 ноября 1863 г. на месте одного из сражений войны между Севером и Югом — одна из вершин политического красноречия. Эта короткая (из десяти предложений) речь оказала огромное воздействие на американцев и считается одной из наиболее известных и часто цитируемых речей на английском языке. (Примеч. перев.)

101

На самом деле Гильберт представил аудитории 10 из этих проблем, поскольку те, кто заранее прочел печатный вариант его доклада, посоветовали ему сократить устный вариант. Все 23 проблемы перечислены в печатном варианте, и на них обычно ссылаются именно по номеру в этой работе. Те проблемы, которые он в действительности огласил собравшейся в Сорбонне аудитории, имеют номера 1, 2, 3, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22. Дополнительная путаница возникает из-за того, что некоторые из 23 пунктов, которые выделил Гильберт, всего лишь очерчивают области исследований и небезоговорочно являются проблемами. Характерен пункт 2: «Исследовать согласованность аксиом арифметики». Этим могут объясняться различные схемы нумерации проблем Гильберта, которые может встретить читатель. Например, Эндрю Ходжес в своей биографии Алана Тьюринга насчитывает 17 проблем Гильберта, а не 23, причем доказательство Гипотезы Римана приводится под номером 4, а не 8. Те из выделенных Гильбертом пунктов, которые составляют четко определенные проблемы, в настоящее время все решены, за единственным исключением Гипотезы Римана.

102

Лучший из таких известных мне рассказов длиною в книгу — это The Hilbert Challenge Джереми Дж. Грея.

103

Хорошее популярное изложение можно найти в книге Джона Л. Касти Mathematical Mountaintops. Oxford University Press (2001).

104

Перевод с немецкого М.Г. Шестопал и А.В. Дорофеевой по изданию: Проблемы Гильберта: Сб. под общ. ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. (Примеч. перев.)

105

Большинство математиков того времени присвоили бы этот титул Анри Пуанкаре (1854-1912). Венгерская академия наук так и поступила, наградив Пуанкаре своей первой премией Бойаи как «математика, достижения которого за последние 25 лет внесли наибольший вклад в прогресс математики». Вторая премия Бойаи была присуждена в 1910 г. Гильберту.

106

Джордж Пойа: 1887-1985. Вглядитесь в эти даты — еще один «бессмертный». Пойа был венгром. Еще более удивительным, чем подъем немецкой математики в начале XIX столетия, был подъем венгерской в начале XX. Тогда как немецкие государства (не считая Австрии и Швейцарии) в 1800 г. насчитывали около 24 миллионов жителей, говорящее по-венгерски население Венгрии составляло в 1900 г. около 8,7 миллиона и, как мне кажется, так и не перешло через 10-миллионный рубеж. К этой небольшой и неприметной нации относится потрясающая доля первоклассных математиков мирового уровня: Боллобаш, два Кенигса, Керекярто, Кюрчхак, Лакатош, Радо, Реньи, два Риса, Сас, Сеге, Секефальви-Надь, Туран, Фейер, Хаар, Эрдейи, Эрдеш, фон Нейман — и, наверное, еще нескольких я забыл. На объяснение этого феномена были направлены кое-какие литературные попытки. Сам Пойа считал, что ключевым фактором являлся Фейер (1880–1959), вдохновенный наставник и способный администратор, который привлекал и поощрял математические таланты. Значительная часть великих венгерских математиков (включая Фейера) были евреями — или же, как в случае родителей Пойа, «социально» обращенными в христианство, но исходно еврейского происхождения. (В отечественной литературе более известен венгерский вариант написания имени математика: Дьердь Пойа. — Примеч. перев.)

107

А именно — «четырехмерное спиновое риманово многообразие». (Примеч. перев.)

108

«Для правильного политопа все фигуры примыкания к вершине эквивалентны». Политоп — это n-мерный эквивалент двумерного многоугольника или трехмерного многогранника. Он называется правильным, если все его «клетки» — (n−1)-мерные «грани» — правильные и все его фигуры примыкания к вершине также правильные. Гранями куба являются квадраты, а фигурами примыкания к вершине — равносторонние треугольники. К вопросу о долголетии: «Доналд» Кокстер родился 9 февраля 1907 г. В конце 2002 г. он все еще числился в списке сотрудников университета в Торонто. В 2001 г. он опубликовал статью (совместно с Бранко Грюнбаумом). Про знаменитого своей научной плодовитостью Кокстера один математик в разговоре со мной заметил следующее: «Что-то Доналд в последнее время немного притормозил». (Гарольд Скотт Макдоналд («Доналд») Кокстер умер 31 мая 2003 г. — Примеч. перев.)

109

Положительных целочисленных. (Примеч. перев.)

110

Теория уверяет нас между прочим, что вещественная часть со всей математической точностью равна 1/2, а не 0,4999999 или 0,5000001. Мы вернемся к этому в главе 16.

111

Пользуясь случаем, заметим, что «неизвестное» комплексное число чаще всего обозначается буквой z, а не x. Математики, как правило, используют n и m для целых чисел, x и y для вещественных, a z и w для комплексных. Разумеется, можно использовать любые другие буквы, какие нам захочется, — это все не более чем традиция. (Для аргумента дзета-функции я твердо следую другой традиции: он обозначается буквой s, и так делают все математики.) Пойа говаривал своим ученикам, что общепринятое обозначение z для аргумента и w для значения в теории функций комплексной переменной происходят от немецкого Zahl, что означает «число», и Wert — «значение». Я, правда, не знаю, так ли это на самом деле.

112

Эстерман (1902-1991) оставил свой след в математике, доказав в 1929 г., что гипотеза Гольдбаха, согласно которой любое четное число большее 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел, верна почти всегда. Он также был творцов доказательства иррациональности числа √2, приведенного в примечании [18] в главе 3, — «первого нового доказательства после Пифагора», как он любил похвастаться.

113

Кроме нулевого. (Примеч. перев.)

114

С этого момента, конечно, в окошке «функция» выставлено ζ(z). (Примеч. перев.)

115

Математики, работающие с функциями комплексной переменной, обычно говорят «плоскость z» и «плоскость w», подразумевая при этом, что в теории функций комплексной переменной z — общее обозначение для аргумента, a w — общее обозначение для значения функции.

116

Иллюстрации и того, и другого типа заняли свое настоящее место лишь с появлением мощных компьютерных рабочих станций и быстродействующих персональных компьютеров. До того построение картинок, подобных изображенным на рисунках с 13.6 до 13.8, было исключительно нелегким делом.

117

Э.В. Барнс — в то время заместитель декана Тринити-колледжа по учебной работе. Позднее он стал англиканским епископом.

118

Автор Calcul des Résidus (фр. «Исчисление вычетов») — учебника по теории функций комплексной переменной — Эрнст Линделёф (1870–1946) был главным героем скандинавской математики, развитию которой он уделял много сил, занимаясь преподаванием, научной работой и написанием учебников. Он родился в Хельсинки и в начале своей жизни был подданным русского царя — Финляндия получила независимость от России лишь в 1917 г. Линделёф, однако, был финским патриотом (один из двух финнов в этой книге) и с энтузиазмом принял участие в жизни нового государства. Он высказал гипотезу («гипотезу Линделёфа») — знаменитое предположение о дзета-функции Римана, относящееся к скорости ее роста в критической полосе. Оно описано в приложении.

119

Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Физматгиз. 1962. Имеются и последующие издания, например: М.: Наука. 1978. (Примеч. перев.)

120

В Тринити это означало должность лектора, что предполагало регулярную стипендию и право занимать квартиру в колледже и ужинать в «зале» (столовой). Это не обязательно включало в себя перспективу получения там постоянной работы. (Речь идет о том, что репутация кембриджского Тринити-колледжа столь высока, что его администрация могла позволить себе не давать обещания постоянной работы при приеме на должности, которые во многих других местах предполагали со стороны университета подобные обязательства. — Примеч. перев.)