Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

6.5. Делится ли число  на 81?

6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n4 + 4 является простым числом.

6.7. Докажите, что является целым числом при любом четном n.

6.8. При каких целых значениях x дробь  сократима?

6.9. Найдите все пятизначные числа вида  (x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.

6.10. Найдите трехзначное число  (а, b, с — его цифры), если четырехзначное число  в три раза больше четырехзначного числа .

6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.

6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.

6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.

6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения

3x² − 16xy − 35y² + 17 = 0.

6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению

x² = 4y² + 20 025?

6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x − 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.

Глава 7

Алгебраические преобразования

Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.

Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам

1) а < x < b;

2) а ≤ x ≤ b;

3) а ≤ x < b;

4) а < x ≤ b;

5) x > а;

6) x < а;

7) x ≥ а;

8) x ≤ а,

где а < b, называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +∞); (−∞, а); [а, +∞); (−∞, а].

Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.

По определению

Для арифметического корня имеет место формула

√а² = |а|.

Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде

(а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b);

(а − b)³ = а³ − b³ − 3аb(а − b).

Следующая формула называется формулой сложного радикала:

(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).

По определению

где а ≥ 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.

Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например,  не имеет смысла, в то время как .

По определению

По определению

α0 = 1 при а ≠ 0.

Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.

Таким образом, .

Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:

Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.

Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.

7.1. Упростите выражение

7.2. Упростите выражение

7.3. Упростите выражение

После упрощения выражения определите его знак в зависимости от x.

7.4. Упростите выражение

7.5. Упростите выражение

где .

7.6. Вычислите значения выражения

7.7. Преобразуйте выражение

так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.

7.8. Разложите на линейные относительно x, у, z, u множители выражение

(xy + zu)(x² − y² + z² − u²) + (xz + yu)(x² + у² − z² − u²).

7.9. Докажите, что

7.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то

7.11. Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство

7.12. Докажите, что

для любых действительных x и у, имеющих одинаковые знаки.

7.13. Докажите, что из условия

следует

(а + b + с)³ = 27аbс.

7.14. Квадратный трехчлен 24х² + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.

Глава 8

Делимость многочленов.

Теорема Безу. Целые уравнения

Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство

P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)

является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).

Обобщенная теорема Виета. Для корней х1, х2, ..., хn уравнения

а0хn + a1xn − 1 + ... + аn − 1x + аn = 0

имеют место формулы:

,

,

.

Для уравнения a0xn + a1xn − 1 + ... + аn = 0 с целыми коэффициентами а0, а1, ... , аn верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/q , то p числитель является делителем свободного члена аn, а знаменатель q — делителем коэффициента а0.

В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена аn.

8.1. Решите уравнение

(x − 4,5)4 + (x − 5,5)4 = 1.

8.2. Решите уравнение

(4x + 1)(12x − 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.

8.3. Докажите, что уравнение

x² − 3у² = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4. Найдите все целые решения уравнения

x² − 6xу + 13у² = 100.

8.5. Найдите остаток от деления многочлена x99 + x³ + 10x + 5 на многочлен x² + 1.

8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2x²у² + у² − 6x² − 12 = 0.

8.7. В уравнении

x4 + аx³ + bx² + 6x + 2 = 0