Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций (в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое представление недостаточно точно, так как может привести к потере корней.

Например, уравнение

x2x = 1       (2)

имеет корни x1 = 1 и x2 = −1, в то время как функция x2x определена только при положительных x.

Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму, порождающую числовые равенства, то при x = −1 слева получим выражение (−1)−2, которое имеет смысл и равно 1.

Итак, уравнением относительно неизвестного x называется форма числовых равенств, которая превращается в истинное или ложное числовое равенство при подстановке вместо буквы x какого-нибудь числа, взятого из рассматриваемой области чисел. Приведем еще несколько определений.

Пусть x, у, z, ... — неизвестные в уравнении

f(x, у, z, ...) = 0.       (3)

Набор значений неизвестных[3]

называется решением уравнения (3), если

f(а, b, с, ...) = 0         (3′)

является истинным числовым равенством.

Решение уравнения с одним неизвестным называют также корнем этого уравнения.

Корнем уравнения 3x² + 2x − 1 = 0 является число x = −1, решением уравнения 2у² − 3xу + x² = 0 является система чисел

Решить уравнение — значит, найти все его решения или доказать, что оно не имеет решений.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, любое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и, обратно, любое решение второго уравнения является также решением первого уравнения.

Вообще говоря, понятие равносильности тесно связано с определенной областью чисел. Так, уравнения x − 1 = 0 и (x − 1)(x² − 3) = 0 равносильны в области целых чисел и неравносильны в области действительных чисел.

Говорят, что второе уравнение является следствием первого, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

В процессе решения уравнение можно заменить любым равносильным ему уравнением. Легко убедиться в том, что замена входящего в уравнение математического выражения тождественным[4] приводит к равносильному уравнению.

Во многих случаях удобно заменить данное уравнение его следствием. В результате такой замены могут появиться посторонние корни, т. е. такие числа, которые являются корнями следствия, но не удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы отсеять посторонние корни, следует сделать проверку всех найденных значений неизвестного.

Замена входящего в уравнение выражения неабсолютно тождественным может нарушить равносильность. В результате у уравнения могут появиться посторонние корни, а некоторые корни могут быть потеряны.

Например, применение неабсолютного тождества[5]

log x + log у = log xy

приводит к следствию, в то время как применение этого же тождества справа налево

log xy = log x + log у

может повлечь за собой потерю решений. В первом случае в результате замены log x + log у на log xy мы можем приобрести решения, лежащие в области x < 0, у < 0. Во втором случае решения из той же самой области могут быть потеряны.

При решении большинства уравнений угроза приобретения посторонних корней не должна нас пугать, так как в наших руках есть такое надежное средство, как проверка. Гораздо более опасной является перспектива потери корней.

Избежать потери корней можно, если вместо неабсолютных тождеств, сужающих область определения, пользоваться неабсолютными тождествами, расширяющими область определения уравнения.

Вернемся к рассмотренному только что примеру с суммой логарифмов. Когда при решении уравнения приходится потенцировать, то неабсолютное тождество

log x + log у = log xу

не приводит к потере корней. Если же по ходу преобразований возникла необходимость прологарифмировать произведение, то нужно воспользоваться другим неабсолютным тождеством

log xу = log |x| + log |у|,

применение которого может лишь расширить область определения уравнения.

Есть второй прием, позволяющий избежать потери решений, который мы поясним на примере уравнения: sin 2x + 7 cos 2x + 7 = 0. Воспользуемся формулами, позволяющими выразить sin 2x и cos 2x через tg x. Получим

Приведя к общему знаменателю и отбросив знаменатель, который всегда отличен от нуля, получим простое уравнение

tg x = −7,

откуда x = −arctg 7 + πk, где k — любое целое число.

Хотя все произведенные преобразования кажутся «законными», мы легко убедимся в том, что целая серия корней x = π/2 + kπ потеряна. Достаточно подставить эти значения неизвестного в исходное уравнение.

Корни были потеряны в результате применения неабсолютных тождеств

левые части которых существуют всегда, а правые теряют смысл

именно при x = π/2 + kπ.

Если по каким-то причинам мы не могли избежать применения неабсолютных тождеств, грозящих потерей корней, то нам не остается ничего иного, как проверить те значения неизвестного, которые оказались исключенными из области определения входящих в уравнение выражений. В нашем примере, как и в большинстве тригонометрических уравнений, это нетрудно сделать.

Наконец, отметим такой важный момент при решении уравнений, как правильное использование условий.

Уравнение

lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 − x²) − 2

удобнее всего решать, преобразовав lg (1 − x²) в сумму логарифмов. Чтобы оградить себя от возможной потери корней, мы должны написать

lg (1 − x²) = lg |1 + x| + lg |1 − x|.

Однако подобная осторожность в этом примере является излишней. Поскольку в уравнение наряду с выражением lg (1 − x²) входят lg (1 + x) и lg (1 − x), то 1 + x и 1 − x должны быть положительными, чтобы левая часть уравнения имела смысл. Поэтому вместо lg |1 + x| и lg |1 − x| можно написать lg (1 + x) и lg (1 − x). Таким образом, данное уравнение принимает вид

lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 + x) + lg (1 − x) − 2.

Приведя подобные члены, получим

2 lg (1 − x) = −2,

откуда x = 0,9 — единственный корень данного уравнения.

На этом примере мы видим, что правильное использование условия позволяет быстрее достичь цели, чем в случае чисто формальных преобразований.

Однако достаточно ли обоснованным было приведенное выше решение? Чтобы убедиться в этом, решите самостоятельно такое уравнение

lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 − x²) + 2.

Оно отличается от предыдущего лишь знаком последнего члена. Поэтому, повторив все приведенные только что рассуждения, получим

2 lg (1 − x)= 2,

откуда x = −9. Подставив это значение x в исходное уравнение, убеждаемся в том, что нами найден посторонний корень. Произошло это потому, что уравнения

lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 + x) + lg (1 − x) + 2

и

2 lg (1 − x) = 2

неравносильны. Равносильность нарушилась в результате уничтожения в правой и левой частях уравнения члена lg (1 + x), который существенно ограничивал область определения уравнения. Таким образом, проверка здесь является необходимой частью решения.

Разобранный пример нередко предлагают решать так. Найдем область определения уравнения:

Теперь будем применять к уравнению те преобразования, которые не могут привести к потере корней:

lg (1 + x) + lg (1 − x)³ = lg (1 − x²) + lg 100,

lg [(1 + x)(1 − x)³] = lg 100(1 − x²),

(1 + x)(1 − x)³ = 100(1 − x²).

Решая последнее уравнение, найдем х1 = 1, х2 = −1, х3 = −9, х4 = 11. Так как все четыре числа не попали в интервал −1 < x < 1, то исходное уравнение не имеет корней.