Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

При N = 1 главный член, равен просто Li(1000 000); именно такое приближение к точному ответу дает нам ТРПЧ. Какова же разница между этим приближением и π(1000 000)? Ответ получается мгновенно путем простого вычитания: разность, вычисленная как π(1000 000) минус Li(1000 000) (чтобы сохранить знаки в нашей таблице), равна −129,54916. Из чего эта разница слагается?

Вот из чего:

Наибольший вклад в разницу дают главные члены. Однако эти члены вполне предсказуемы — они убывают быстро и неуклонно.

Разница, возникающая из вторичных членов, имеет тот же порядок величины, однако составляющие ее компоненты — те самые вторичные члены — вызывают куда больше беспокойства. Первый вторичный член достаточно велик и отрицателен; правда, нет никаких очевидных причин, почему он должен оказаться именно таким. Но и другие не очень помогают. Если просто двигаться вниз вдоль колонки с вторичными членами, не обращая внимания на знаки минус, а следя только за тем, будет ли каждый следующий член больше или меньше предыдущего по величине, то мы увидим такое: меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, больше. Вторичный член при N = 19 оказывается почти таким же, как и при N = 6. Все эти вторичные члены — члены, которые выражаются через нули дзета-функции, — джокеры в нашем вычислении. А члены с ln 2, как и было обещано, несущественны.

Вспомним о статье Литлвуда 1914 года (см. главу 14.vii), где он доказал, что неверно утверждение, что Li(x) всегда превосходит π(x). Это означает, что разность рано или поздно станет положительной. Поскольку главные члены очень быстро убывают по величине, а функция Мебиуса делает несколько первых из них отрицательными, включая и по-настоящему большие (при N = 2, N = 3 и N = 5), нелегко представить себе, как же эти главные члены вообще могут внести в разность какой-нибудь иной вклад, кроме как большое отрицательное число. Если в итоге разность должна оказаться положительной (а Литлвуд доказал, что такое рано или поздно случится), то это отрицательное число должно поглотиться большими, положительными, вторичными членами. Чтобы такое произошло, вторичные члены — нули дзета-функции — должны серьезным образом выйти из-под контроля. Судя по всему, так они и делают.

Чтобы еще глубже разобраться в смысле остаточного члена, снова взглянем на двойную спираль в правой части рисунка 21.4. Она представляет нам функцию Li(xкритическая прямая) при x = 20. Критическая прямая — испещренная, если ГР верна, всеми нетривиальными нулями дзета-функции — отображается под действием функции Li(20z) в спираль. Что будет, если вместо 20 мы возьмем какое-нибудь большее значение х? Какой вид примут соответствующие спирали?

Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10крит. прямая), Li(100крит. прямая) и Li(1000крит. прямая). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от 1/2 − 5i до 1/2 + 5i.

Рисунок 21.7. Li(xкритическая прямая) при x = 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от 1/2 − 5i до 1/2 + 5i.

Как видно, при увеличении x от 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам −πi и πi.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек −πi и πi.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении x между 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при 1/2 ± 14,134725i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек −πi и πi, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек −πi и πi независимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста x нули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда ρ равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при 1/2 + 14,134725i), а аргумент x достигает скромного триллиона, функция Li(xρ) добирается до вещественных частей, превышающих 2200.

В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда π(x) впервые оказывается больше чем Li(x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x = 1,39822×10316. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили π(1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?

Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию J при всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J.[201]

Изображенные на рисунке 21.7 двойные спирали пересекают положительную часть вещественной оси последовательно все далее на восток — в точках 2,3078382, 6,1655995 и 13,4960622. Если бы мы проводили вычисления для числа Бейса-Хадсона, то двойная спираль пересекла бы вещественную ось при гораздо большем значении, определяемом числом, которое начинается как 325 771 513 660 и далее содержит еще 144 цифры до запятой. Спирали при этом невообразимо широкие, но, несмотря на это, все равно сходятся к πi и −πi. Это означает, что верхняя и нижняя спирали в сильной степени накладываются друг на друга — настолько сильно, что на рисунке их невозможно было бы различить. А критическая прямая, испещренная сидящими на ней нулями (если ГР верна!), колоссально растянута. Тогда на рисунке, аналогичном рисунку 21.3, в центре была бы значительно большая дыра — хотя все равно с центром в πi, — а спираль триллионы раз наматывалась бы между двумя последовательными нулями с малыми номерами, весьма эффективно разбрасывая их координаты по комплексной плоскости, так что вещественные части колебались бы между чудовищно большими отрицательными и чудовищно большими положительными числами. И все это относится только к первым из 639 строк в таблице для вычисления π(число Бейса-Хадсона). Вторичные члены и правда разошлись не на шутку.

Во всех вычислениях, проводившихся в данной главе, предполагалось (о чем мы время от времени напоминали), что ГР верна. Если она не верна, то наши изящные окружности и спирали представляют собой не более чем приближение, а где-то на большой высоте вдоль критической прямой — для значений ρ где-то далеко-далеко в той бесконечной сумме по вторичным членам — логика нашего рассмотрения рассыпается. В теории, касающейся остаточного члена, ГР занимает центральное место.

Мы достигли главной цели, поставленной перед математической частью этой книги, — показать глубокую связь между распределением простых чисел, воплощенным в функции π(x), и нетривиальными нулями дзета-функции, которые дают значительный (а по теореме Литлвуда — временами и доминантный) вклад в разность между π(x) и Li(x), т.е., другими словами, в остаточный член в ТРПЧ.