Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Рисунок 21.2. Плоскость значений для функции w = 20z. Показаны значения w для первых двадцати нетривиальных нулей дзета-функции.
Представим себе, что наш приятель муравей Арг топает на север по критической прямой в плоскости аргумента, а на его приборчике выставлена функция 20s; тогда его брат-близнец, муравей Знач, отслеживая соответствующие значения в плоскости значений, нарезает круги по нашей окружности. Он продвигается против часовой стрелки, и к тому моменту, как муравей Арг доберется до первого нуля дзета-функции, муравей Знач одолеет уже почти три четверти своего седьмого круга.[197]
V.А теперь мы найдем, одно за одним, значения функции Li во всех этих точках — во всем бесконечном числе этих точек. К сожалению, это комплексные числа, а мы определили функцию Li только для вещественных чисел — как площадь под кривой. Имеется ли способ определить Li также и для комплексных чисел? Что из себя представляют интегралы для комплексных чисел? Да, способ определить эту функцию есть; и, кроме того, да, существует способ интегрировать, когда в этом деле участвуют комплексные числа. Интегрирование на самом деле представляет собой один из важнейших элементов комплексного анализа, объект самых прекрасных и мощных теорем во всем этом разделе. Не вдаваясь в подробности, я скажу только, что, да, функция Li(z) определена[198] для комплексных чисел z.
На рисунке 21.3 показано, куда функция Li отображает первые 10 точек, изображенных на рисунке 21.2. Другими словами, (точнее, ее отрезок от 1/2 + 14i до 1/2 + 50i). Как видно, эта функция отображает критическую прямую в спираль, идущую против часовой стрелки и приближающуюся к числу πi по мере того, как аргумент взбирается вверх по критической прямой. Там, где функция 20z бесконечно много раз наматывала и наматывала критическую прямую на окружность радиуса √20, применение функции Li разматывает ее в изящную спираль; на ней по-прежнему нарисованы точки, изображающие нули.
Рисунок 21.3. Функция Li(20z) для отрезка критической прямой.
VI.Теперь примемся за знак сигмы, где надо суммировать эти точки (каждая из которых — просто комплексное число) по всем возможным нетривиальным нулям дзета-функции. Для этого сначала вспомним один момент, который мы до сих пор практически игнорировали. Для каждого нетривиального нуля, расположенного на северной половине критической прямой, имеется соответствующий нуль на ее южной части. Если, например, 1/2 + 14,134725i — нуль дзета-функции, то нулем должно быть и число 1/2 − 14,134725i. На чисто математическом языке можно сказать, что если z — нуль, то и его комплексное сопряжение z' также есть нуль. (Мы помним, что z' произносится как «зет-с-чертой».{2} Сейчас может оказаться нелишним взглянуть на рисунок 11.2 и освежить в памяти основные факты о комплексных числах.)
При выполнении суммирования южная часть критической полосы играет ключевую роль. На рисунках 21.2 и 21.3 были показаны лишь первые несколько нулей вдоль северной половины критической прямой. Для создания более полной картины, включающей и южную половину этой прямой, в самой левой части рисунка 21.4 показана плоскость комплексных чисел с отмеченной критической полосой от 1/2 − 15i до 1/2 + 15i. Этого достаточно, чтобы был виден первый нуль при 1/2 + 14,134725i, а также его комплексное сопряжение 1/2 − 14,134725i. Они отмечены буквами ρ и ρ'.
Рисунок 21.4. Критическая прямая, продолженная до первой пары нетривиальных нулей, и ее отображение сначала с помощью функции 20z, а затем с помощью функции Li(20z).
Рассматривая эту плоскость как плоскость аргумента для функции 20z, мы получаем на средней части рисунка 21.4 картинку типа «сюда» в плоскости значений — окружность радиуса √20, где, как и на рисунке 21.2, отмечено 20ρ, а наряду с этим отмечено еще и 20ρ'. Заметим, что, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения функции. Такое происходит не со всеми функциями, но, по счастью, происходит с функцией 20z. Если мы применим функцию Li, на этот раз используя в качестве ее плоскости аргумента среднюю часть рисунка 21.4, то мы увидим, что критическая прямая, которая намоталась на эту окружность бесконечное число раз под действием функции 20z, теперь разматывается в симпатичную двойную спираль в правой части рисунка. (Рисунок 21.3 представлял собой «наезд камеры» на верхнюю часть этой спирали.) И по-прежнему, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения.
Осталось заметить еще только одну вещь перед тем, как мы приступим к сумме ∑ρLi(20ρ). Показанная спираль — что лучше всего видно из рисунка 21.3 — стремится к точке своего назначения не слишком быстро. Скорость, с которой она сходится, по сути дела гармоническая: если представить себе, что муравей Арг шагает на север по критической прямой, а на его приборчике выставлена функция Li(20ρ), то муравей Знач будет двигаться по спирали, постепенно приближаясь к точке πi — приближаясь на расстояние, обратно пропорциональное высоте, на которую забрался муравей Арг. Если последний вскарабкался на высоту T, то муравей Знач будет находиться от точки πi примерно на расстоянии, пропорциональном 1/T.
Имея это в виду, мы теперь готовы взяться за сумму ∑ρLi(20ρ). Сложению подлежат комплексные числа, соответствующие всем нашим точкам на спирали, изображенной на рисунке 21.3, а также их комплексно сопряженным точкам на соответствующей южной части спирали. Поскольку для каждой точки северной спирали имеется ее зеркальное отображение на южной, все мнимые части сократят друг друга: для каждого a + bi найдется соответствующее a − bi, так что при их сложении получится просто 2a. Ну и отлично, потому что J(x) — вещественное число, и решительно не годится иметь мнимые слагаемые в правой части выражения (21.1)! Это и вправду хорошая новость, потому что она означает, что складывать надо только вещественные (т.е. западно-восточные) части точек на рисунке 21.3. Вклад южного полушария сводится просто к тому, что ответ удваивается, т.е. (a + bi) + (a − bi) = 2а.
Остальные новости похуже. Точки, раскиданные по спирали на рисунке 21.3, как уже было замечено, сходятся к числу πi — а их вещественные части, стало быть, сходятся к нулю — с гармонической скоростью. Сложение вещественных частей всех этих точек, следовательно, чревато опасностью, что мы будем складывать нечто вроде гармонического ряда, который, как мы помним из главы 1, расходится. Откуда нам знать, что сумма ∑ρLi(20ρ) сходится?
Делу помогает тот факт, что вещественные части этих точек то положительны, то отрицательны. На самом деле наша сумма похожа не на гармоническую сумму, а на ее близкого родственника, с которым мы бегло встречались в главе 9.vii:
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − …
Слагаемые здесь приближаются к нулю гармонически: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, но чередующиеся знаки плюс и минус означают, что каждый следующий член до некоторой степени сокращает предыдущий, что и приводит к сходимости. Но эта сходимость, если использовать введенную в главе 9.vii терминологию, лишь условна. Она зависит от суммирования всех членов в правильном порядке.
Так же обстоит дело и с рядом ∑ρLi(20ρ). Если мы желаем обеспечить сходимость к правильному числу, то нам следует проявлять осторожность относительно порядка суммирования. Так каков же правильный порядок? Он ровно такой, как вы и подумали. Берем нули один за другим, двигаясь вверх по критической прямой, и прибавляем к каждому его комплексно-сопряженный нуль из южной части.
VII.Итак, для вычисления суммы ∑ρLi(20ρ) мы сначала складываем каждый нуль дзета-функции с его зеркальным образом (т.е. с комплексным сопряжением) из южной половины плоскости аргумента. Далее эти пары надо сложить в порядке возрастания положительных мнимых частей. Таким образом, мы складываем нули в следующем порядке:
