Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Все это открылось нам в блестящей работе Бернхарда Римана 1859 года. Сегодня, конечно, мы знаем намного больше, чем было известно в 1859 году. Однако великая головоломка, впервые сформулированная в той работе, по-прежнему остается нерешенной — она противостоит атакам лучших умов планеты так же твердо, как когда Риман писал о своих «недолгих бесплодных попытках» доказать ее в далекие времена, когда аналитическая теория чисел только-только родилась. Каковы же перспективы на сегодняшний день, когда усилия расколоть орешек ГР прилагаются уже пятнадцатое десятилетие?
Глава 22. Она или верна, или нет
I.Можно находить известное удовлетворение в наличии некоторой симметрии, выражающейся в том, что после стодвадцатилетнего пребывания среди математиков Гипотеза Римана (ГР) привлекла внимание и физиков. Как отмечалось в главе 10.i, сам Риман в большой степени обладал воображением, присущим ученому-физику. «Четыре из девяти работ, которые он успел сам опубликовать, относятся к физике» (Лаугвитц). Кроме того, как мне напомнила специалист по теории чисел Ульрике Форхауер[202], во времена Римана деление на математиков и физиков было не слишком отчетливым. А незадолго до того оно не проводилось вовсе.
Гаусс был первоклассным физиком в той же мере, что и первоклассным математиком, и его немало озадачила бы идея рассматривать эти две дисциплины по отдельности.
Джонатан Китинг[203] рассказывает следующую историю — на мой взгляд, имеющую легкий оттенок сверхъестественного:
Я отдыхал в горах Гарца вместе с несколькими коллегами. Двое из нас решили, что стоит проехать 30 миль, отделявших нас от Геттингена, чтобы взглянуть на черновики Римана, хранящиеся там в библиотеке. Лично мне было интересно посмотреть на заметки, относящиеся примерно ко времени написания работы 1859 года о дзета-функции.
Но мой коллега — прикладной математик, которого не занимала теория чисел, интересовался совершенно другой работой Римана, имеющей отношение к возмущениям. Представим себе большую каплю газа в пустом пространстве, удерживаемую в одно целое гравитационным притяжением между частицами этого газа. Что будет, если по ней хорошенько ударить? Вообще-то могут случиться две основные вещи: капля может разлететься на части, а может начать вибрировать с некоторой частотой. Все зависит от величины, направления и места приложения удара, а также формы и размера исходной капли и т.д.
Мы добрались до библиотеки, и я попросил, чтобы мне показали заметки по теории чисел, а мой коллега — по теории возмущений. Библиотекарь что-то проверила, а потом вернулась и сказала, что нам обоим нужна одна и та же подшивка черновиков Римана. Он работал над этими двумя задачами одновременно.
Разумеется, добавляет Джонатан, в распоряжении Римана не было операторной алгебры XX столетия, которая помогла бы ему в задаче о возмущениях и дала бы ему все возможные частоты вибраций в виде спектра собственных значений. Ему приходилось продираться сквозь дифференциальные уравнения, создавая специально для своих целей некоторый зачаток теории операторов. И все же трудно поверить, что ум столь острый и столь проницательный, как у Римана, не заметил бы аналогии между нулями дзета-функции, нанизанными на критическую прямую, и спектром частот в теории возмущений — аналогии, которая при столь драматических обстоятельствах высветилась за чашкой вечернего чая в Фалд-Холл 113 лет спустя!
II.Мне довелось услышать этот рассказ Китинга в Институте Куранта при Нью-Йоркском университете в начале лета 2002 года. Поводом была четырехдневная серия лекций и дискуссий, организованная Американским математическим институтом (АМИ). Называлось все это мероприятие «Рабочее совещание о дзета-функциях и связанных с ними гипотезах Римана».
На эту конференцию были приглашены многие знаменитости. Показался и сам Атле Сельберг, нисколько не потерявший прежнюю остроту ума в свои 84 года. (В ходе самого первого выступления он поддел Питера Сарнака по поводу одного факта из истории математики. Во время обеденного перерыва я отправился в великолепную библиотеку Курантовского института и проверил, как оно на самом деле. Сельберг оказался прав.) Присутствовали многие из тех, чьи имена мы упоминали в предшествующих главах, включая обоих открывателей закона Монтгомери-Одлыжко. Среди других участников был нынешняя математическая супер-звезда Эндрю Уайлс, ставший знаменитым после того, как доказал Последнюю теорему Ферма, Хэролд Эдвардс, автор несколько раз упоминавшейся самой надежной книги о дзета-функции, и Дэниел Бамп — одно из двух имен, связанных с самым неординарным на слух из всех результатов, имеющих отношение к ГР, — теоремой Бампа-Нг.[204]
В последние годы АМИ превратился в значительную силу, направленную на штурм ГР. Конференция в Курантовском институте была третьей из спонсировавшихся АМИ конференций по проблемам, связанным с ГР. Первая состоялась в университете штата; Вашингтон в Сиэтле в августе 1996 года и была приурочена к 100-летию доказательства Теоремы о распределении простых чисел, данного Адамаром и де ля Валле Пуссеном. Вторая проводилась в 1998 году в Институте Эрвина Шредингера в Вене. В целом АМИ вовсе не ограничивает свою деятельность исследованиями Гипотезы Римана — ни даже просто теорией чисел. Например, недавно АМИ поддержал проект по исследованиям в области общей теории относительности. Но в отношении ГР они сделали очень много, чтобы собрать вместе исследователей из различных областей, развивающих различные, уже упоминавшиеся нами подходы: алгебраический, аналитический, вычислительный и физический.
АМИ был основан в 1994 году Джеральдом Александерсоном — крупной фигурой в американской математике (кстати, Александерсон — автор очень хорошей книги о Джордже Пойа) и Джоном Фраем — калифорнийским бизнесменом. Фрай происходит из семьи предпринимателей. Его родителям принадлежала пользующаяся успехом сеть супермаркетов в Калифорнии. Джон еще в юности влюбился в математику и в 1970-х годах учился математике в университете Санта-Клары, где в то время работал Александерсон. После окончания университета Джону пришлось решать, продолжать ли семейную традицию в бизнесе или поступать в аспирантуру. Джон сделал выбор в пользу бизнеса и вместе с двумя братьями основал сеть магазинов электроники (Fry's Electronics), сначала только в Калифорнии, а в последнее время выросшей до масштабов всей страны.
Джон Фрай и Джерри Александерсон не теряли друг друга из виду. Их общим интересом было коллекционирование редких математических книг и оригинальных статей. В начале 1990-х годов они загорелись идеей основать математическую библиотеку, в которой хранилось бы их собрание. Это постепенно развилось в план устройства математического института. Они привлекли еще Брайана Конри — одногруппника Джона в университете Санта-Клары, получившего относительную известность в области теории чисел и чрезвычайно успешно руководившего факультетом в университете штата Оклахома.
В течение нескольких первых лет своего существования АМИ почти целиком финансировался из личных пожертвований Джона Фрая, доходивших до 300 000 долларов в год. Это был тот самый случай, когда добрые дела творятся втихую. Джон — сдержанный и склонный к уединению человек, не выставляющий напоказ того, что он делает. Когда я впервые услышал об АМИ, я принялся искать портрет Фрая в Интернете; но портретов там не нашлось. В своей собственной среде, однако, т.е. среди математиков и людей, любящих математику, до Джона добраться несложно. В ходе конференции в Курантовском институте в Нью-Йорке он пригласил нескольких человек, включая и меня, на ланч. Высокий живой человек с лицом, которое загорается, когда он начинает говорить о математике. Я хотел осторожно поинтересоваться, не приходилось ли ему жалеть о своем решении пойти в бизнес, а не по академической стезе, но все-таки решил, что вопрос не слишком уместный, и я не воспользовался представившейся мне возможностью.
Побывав за несколько дней до конференции в Курантовском институте в штаб-квартире АМИ, я выяснил, что она располагается во вполне рядовых офисных помещениях, соединенных с магазином Фрая в Пало-Альто в Калифорнии. Однако в 2001 году АМИ подал заявку в National Science Foundation[205] на поддержку финансирования центра для конференций на зеленом 200-акровом участке к югу от Сан-Хосе в Калифорнии. Средства были выделены, и исследовательские программы будут осуществляться по новому адресу с декабря 2002 года.
Начало другому предприятию, финансируемому, подобно АМИ, из частных источников, было положено на Восточном побережье Соединенных Штатов в 1998 году, когда бостонский бизнесмен Лэндон Т. Клей и гарвардский математик Артур Джаффе организовали Математический институт Клея (МИК). Если первое крупное мероприятие, проведенное АМИ, было посвящено столетию Теоремы о распределении простых чисел, то в МИК решили отметить годовщину доклада Гильберта на Парижском конгрессе 1900 года.
