Генри Дьюдени - 200 знаменитых головоломок мира

114. Наименьшее число бисквитов равно 1021, откуда видно, что это были те миниатюрные бисквитики, которые любят дети. Общее решение состоит в том, что для случая n человек число бисквитов должно равняться m (nn+1) — (n — 1), где m — любое целое число. Каждый человек получит при окончательном разделе m (n — 1)1 — 1 бисквитов, хотя в случае двух человек, когда m = 1, при окончательной дележке бисквит получит лишь собака. Разумеется, в любом случае каждый человек крадет n-ю часть бисквитов, отдав предварительно лишний бисквит собаке.

115. Существует 255 различных способов разрезать доску на две части одинаковых размеров и формы. Каждый способ должен включать в себя один из пяти разрезов, показанных на рисунках А, В, С, D и Е. Дабы избежать повторений при поворотах и отражениях, нужно рассматривать лишь те разрезы, которые начинаются в точках а, b и с. Но заканчиваться разрез должен в точке, расположенной на одной проходящей через центр прямой с точкой начала. Это наиболее важное условие, которое следует помнить. В случае В вы не можете начать разрез в точке а, ибо в противном случае вы пришли бы к случаю Е. Аналогично в случаях С или D вы не должны подходить к ключевой прямой в том же направлении, в каком идет она сама, ибо тогда вы получили бы случай А или В. Если вы действуете способом А или С и начинаете разрез в а, то, чтобы не получилось повторений, вы должны рассматривать соединения лишь в одном из концов ключевой прямой. В других случаях вы должны рассматривать соединения в обоих концах ключевой прямой, но, пройдя а в случае D, поворачивайте всегда либо направо, либо налево (используя лишь одно направление). На рисунках 1 и 2 приведены примеры для случая А; на рисунках 3 и 4 для случая В; на рисунках 5 и 6 — для случая С, а рисунок 7 — хороший пример случая D. Разумеется, Е особый тип, допускающий лишь одно решение, поскольку вполне очевидно, что вы не можете начать разрез в b или с.

Вот итоговая таблица:

Я не пытался решить ту же задачу для настоящей доски 8 × 8, ибо, какой бы метод здесь не применялся, чтобы получить ответ, потребуется очень большая работа.

116. Решение показано на рисунке. Можно заметить, что каждая из четырех частей (после проведения разрезов вдоль жирных линий) имеет тот же размер и ту же форму, что и остальные, и, кроме того, содержит по льву и короне. Две из частей заштрихованы, дабы сделать решение более ясным для глаза.

117. Существует 15 различных способов разрезания доски 5 х 5 (с удаленной центральной клеткой) на две части одинаковых размеров и формы. Ограниченность места не позволяет мне привести здесь все соответствующие рисунки, но я помогу читателю нарисовать их самому без малейшего затруднения. В какой бы точке края вы ни начали разрез, заканчиваться он должен в точке, симметричной с ней относительно центра доски. Так, если вы начинаете разрез в точке 1 (рис. слева) вверху, то заканчивать его вы должны в нижней точке 1.

Далее 1 и 2 — единственные две существенно различные точки начала; если мы начнем разрез в других точках, то получим такие же решения. Направления разрезов в упомянутых 15 способах указаны на рисунке числами. То, что эти числа повторяются дважды, не приведет к недоразумению, ибо каждое последующее число расположено рядом с предыдущим. Любое направление, которое вы изберете при движении сверху вниз, должно быть повторено при движении снизу вверх; одно направление служит точным отражением другого (точнее, переходит в него при повороте доски на 180° вокруг центра).

Можно заметить, что четвертое направление (1, 4, 3, 7, 10, 6, 5, 9) совпадает с показанным на рисунке справа. Тринадцатое совпадает с решением, приведенным при формулировке задачи, где разрез начинается с боковой стороны, а не сверху доски. Части, однако, окажутся одинаковой формы, если их перевернуть другой стороной кверху, что, как указывалось в условии, не приводит к новому решению.

118. Способ разрезания доски таким образом, чтобы все 4 части оказались одинаковых размеров и формы и содержали по одному драгоценному камню, показан на рисунке. Клетки двух частей заштрихованы, чтобы сделать решение более наглядным. Быть может, читателю будет небезынтересно сравнить эту головоломку с задачей 14 настоящей книги.

119. Монах, «искушенный в тайных науках», указал отцу Джону, что распоряжение аббата можно легко выполнить, заделав 12 просветов. Они показаны на схеме черными квадратами.

Отец Джон настаивал на том, чтобы заделать 4 угловых просвета, но мудрец объяснил, что желательно заделать не больше просветов, чем это совершенно необходимо, и сказал, предвосхищая лорда Дандриери:

— Единственное стекло может располагаться на одной прямой с самим собой не более чем единственная птица может залететь в угол и толпиться там в одиночестве.

В условии аббата говорилось, чтобы ни одна прямая не содержала нечетного числа просветов.

Когда святой отец увидел сделанное, он остался очень доволен и сказал:

— Воистину, отец Джон, ты человек глубокой мудрости, ибо ты сделал то, что казалось невозможным, да еще при этом украсил наше окно крестом святого Андрея, чье имя я получил от моих крестных.

После этого он крепко заснул и на утро поднялся освеженным. Это окно можно было бы и сейчас увидеть целым в монастыре святого Эдмондсбери, если бы он существовал!

120. Максимальное число частей равно 18. Я привожу здесь два решения. Доска с цифрами разрезана таким образом, что восемнадцатая часть имеет при заданных условиях максимальную площадь (8 клеток). Второй вариант выполнен с тем условием, чтобы ни одна из частей не содержала более пяти клеток.

В задаче 74 показано, как разрезать доску на 12 попарно различных частей, содержащих по 5 клеток, за исключением одной квадратной части из четырех клеток.

121. Части можно сложить так, как показано на рисунке; при этом образуется правильная шахматная доска.

122. Очевидно, на каждой горизонтали и на каждой вертикали должна находиться лишь одна ладья. На первой горизонтали мы можем расположить ладью одним из 8 способов. Куда бы мы ее ни поместили, вторую ладью на второй горизонтали мы сможем расположить 7 способами. Далее, мы можем расположить третью ладью 6 способами и т. д. Следовательно, число различных комбинаций равно 8×7×6×5×4×3×2×1 = 8! = 40 320.

Сколько различных комбинаций получится, если не различать между собой расположения, получающиеся друг из друга с помощью поворотов и отражений, еще не выяснено. Это трудная задача. Однако этот вопрос на меньшей доске рассмотрен в следующей головоломке.

123. При данных условиях существует лишь 7 различных способов, а именно: 1 234, 1 243, 1 324, 1 342, 1 432, 2 143, 2 413. Например, в последнем случае обозначение расшифровывается так: лев находится во второй клетке первой горизонтали, четвертой клетке второй горизонтали, первой клетке третьей горизонтали и третьей клетке четвертой горизонтали. Первое расположение, очевидно, совпадает с тем, которое приведено при формулировке данной головоломки.

124. Этого нельзя сделать с числом слонов меньше 8, а простейшее решение состоит в том, чтобы расположить слонов на четвертой или пятой горизонтали (см. рисунок). Однако стоит отметить, что при таком расположении все слоны оказались незащищенными; так что мы изучим этот вопрос в следующей головоломке.

125. Эта головоломка совсем проста, если вы сначала немного подумаете. Вам следует рассмотреть лишь клетки одного цвета, ибо, что бы вы ни делали на белых клетках, то же самое можно повторить и на черных, так что они здесь не зависимы друг от друга. Разумеется, такое равноправие белых и черных клеток является следствием того факта, что число клеток на обычной доске 64 — четное. Если бы квадратная доска «в клетку» содержала нечетное число клеток, то клеток одного цвета оказалось бы на 1 больше, чем другого.

Чтобы каждая клетка оказалась под угрозой нападения, а каждый слон защищен другим слоном, необходимо иметь 10 слонов. Я привожу на рисунке одно из расположений. Можно заметить, что 2 центральных слона в группе из 6 слонов слева нужны лишь для того, чтобы защищать слонов, стоящих на соседних клетках. Следовательно, другое решение получится, если верхнего из этих двух слонов мы поднимем на клетку вверх, а нижнего опустим на клетку вниз.

126. Четырнадцать слонов можно расположить 256 различными способами. Но каждого слона следует всегда помещать на одной из сторон доски (то есть где-то на крайней горизонтали или вертикали). Таким образом, головоломка состоит в том, чтобы определить число различных способов, какими мы можем расставить 14 слонов по краям доски так, чтобы они не атаковали друг друга. Сделать это нетрудно. На доске размером n х n клеток 2n — 2 слона (максимальное число) всегда можно расположить 2n способами так, чтобы они не атаковали друг друга. На обычной шахматной доске n = 8, следовательно, на ней 14 слонов можно расположить 256 различными способами. Довольно удивительно, что в общем случае получается такой простой ответ.