Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Он перемещает всю свою первую партию гостей. Гостя из номера первого он переводит в номер второй, из номера второго в четвертый, из номера третьего в шестой, из номера четвертого в восьмой, из номера пятого в десятый и так далее. Таким образом, у него все нечетные номера оказались свободными, и там-то он и разместил вторую партию гостей, которая, как и первая, заключала в себе несметное число приезжих.
Понял?
- Ничего не понял! - воскликнул Илюша.
- Прекрасно! - отвечал Радикс. - Начнем сначала. Ты знаешь, что такое четные числа?
- Ну конечно. Это те, которые делятся на два.
- Верно. А нечетные?
- 207 -
- Ну, которые на два не делятся: три, пять, семь и так далее.
- Приятно слышать. Какой милый, догадливый мальчик!
Так вот, Мишкина задачка, а также задачка с бесконечной гостиницей заключаются вот в чем. Если взять все числа, то есть четные и нечетные, ведь это будут все натуральные числа, не правда ли?
- Ну конечно, потому что, кроме четных и нечетных, больше никаких нет. Так они и идут одно за другим: нечетное, потом четное, потом опять нечетное и так далее без конца.
- Одно за другим, по очереди?
- Конечно! Что ты меня спрашиваешь о таких вещах?
Уж это, кажется, до того просто, что малое дитя знает!
- Ах, так это просто, по-твоему? Ну посмотрим, что ты дальше скажешь! Так, значит, выходит, что четных и нечетных чисел одинаковое количество.
- Конечно, - ответил Илюша. - Если взять, например, до какого-нибудь четного числа, ну хоть до этого нонильона децильонов, то будет поровну и четных и нечетных.
- Так и запишем. Попробуем только взять еще немножко подальше, а то для Мишкиной задачки это крохотное числишко - нонильон децильонов - не подходит. Возьмем до бесконечности. Так вот, ответь мне, пожалуйста: если мы возьмем все числа, а потом выберем только одни четные и напишем в два ряда - в одном ряду будут все: и четные и нечетные, а в другом одни четные, - так в котором ряду будет чисел больше, в верхнем или в нижнем?
- Ну конечно, во втором ряду будет вдвое...
Но тут почему-то Илюша замолчал, и на его лице изобразилось полнейшее недоумение.
- Ну-с, - сказал Радикс, - я вас слушаю! В котором ряду будет больше, в верхнем или в нижнем?
Илюша грустно вздохнул и сказал:
- Должно быть во втором ряду вдвое меньше, а на самом деле...
- А на самом деле? - повторил вопросительно Радикс. - Да что тут долго думать! Вон они, посмотри-ка!
Илюша обернулся, посмотрел на стену и увидел:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28...
Оба ряда тянулись вправо ужасно далеко, но как ни заглядывал Илюша вправо, как он ни напрягал зрение, оба они шли совершенно вровень, а конца им не было.
- Так как же? - опять спросил Радикс.
- 208 -
- Выходит, что их - и тех и других - одно и то же количество.
Илюша пожал плечами.
- Не понимаю! - сказал он. - Вижу, что одно и то же количество, и соображаю, что сколько ни тяни верхний ряд, нижний от него отставать не будет, потому что нижний - это тот же верхний, только умноженный на два, но понять не могу.
Не могу, потому что нижний в то же самое время есть часть верхнего. Но ведь часть меньше своего целого?
- Меньше, покуда речь идет о числах, о конечных величинах. А раз ты имеешь дело с бесконечностью, то, как ты сейчас сам видишь, это не так. Там вовсе не обязательно, чтобы часть была меньше своего целого. В данном случае часть совершенно такая же, как и ее целое. И это странное целое можно еще по-разному разбить на части, и опять получится то же самое. Великий Галилео Галилей в книге, которая называется "Беседа о двух новых науках" и которая вышла б свет в тысяча шестьсот тридцать восьмом году, задает примерно такой вопрос: "Верно ли будет, если я скажу, что количество правильных квадратов, как "четыре", "девять", "шестнадцать", "двадцать пять" и так далее, меньше количества всех чисел, поскольку число правильных квадратов непрерывно и очень скоро убывает по мере того, как мы двигаемся вперед по натуральному ряду чисел по направлению ко все большим и большим числам? Для примера укажу, что в первой сотне я насчитываю десять квадратов, что составляет одну десятую всех чисел до сотни включительно; затем до десяти тысяч их будет сто, то есть одна сотая, а до миллиона их будет одна тысячная и так далее". Поскольку это так, то несомненно правильно, что в любом конечном числе квадратов будет гораздо меньше, чем всех чисел, и чем оно будет больше, тем относительно их будет меньше. Однако, как только мы переходим к бесконечности, оказывается, что я могу все это рассмотреть совершенно с другой точки зрения. Напишем вот таких два ряда:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144...
Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. "Поэтому, - говорит далее Галилей, - нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество - и тех и других". Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.
- 209 -
Из этого луча можно сделать два луча.
- Все это так, - медленно произнес Илюша, - а понять все-таки очень трудно.
- Ничего удивительного здесь нет, - отвечал Радикс, - что тебе вся эта задача кажется такой трудной.
Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.
- Хорошо бы... - отвечал наш герой.
- Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найти какой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества.
И вот что тут можно предложить.
Представь себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое - попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет.
- 210 -
Но только математики говорят в таких случаях не "количество" элементов, а так: эти два множества имеют "одинаковую мощность"[16].
- А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность! - сказал Илюша. - Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.
- Нет, - ответил Радикс, - не все бесконечные множества можно так исчерпать. Например, если взять множество всех точек на отрезке прямой, то его таким способом исчерпать нельзя. У нас говорят, что оно имеет "более высокую мощность", чем множество, например, всех натуральных чисел.
- По поводу точек на отрезке я вспоминаю, - сказал Илюша, - что ты мне говорил, будто из одного луча можно сделать два.
- Даже не два, а бесконечное множество. И это очень просто. Представь себе, что на твоем луче отложен отрезок, равный единице, потом еще один, и так до бесконечности. Перенумеруй по порядку эти отрезки, а затем, как хозяин Мишкиной гостиницы, из четных, сдвинув их вместе, сооруди один луч, а из оставшихся нечетных - другой. Потом можешь повторить это с каждым из них, и так столько раз, сколько тебе угодно. А если догадаешься, можешь и сразу начать так перераспределять эти единичные отрезки, чтобы получилось бесконечное число лучей.
- Но если конечный отрезок разделить пополам, в каждой части будет вдвое меньше точек, чем в целом отрезке?
- Нет! - ответил Радикс. - Это снова тот же самый Мишкин неразменный рублик. В смысле "мощности" количество точек в целом отрезке и в его половине одинаково. Ты можешь в этом убедиться хотя бы так. Помнишь, что средняя линия треугольника равна...
- Половине основания!
- Вот именно. А теперь проведи из вершины противоположного угла прямые, соединяющие ее с точками основания.
Каждая из этих прямых пересечет и среднюю линию в какой-нибудь точке. Вот и получится, что каждой точке основания отвечает при таком построении точка на средней линии.
- 211 -
- И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?
- Ты забываешь, что точки "не имеют длины" и длина отрезка вовсе не слагается из "длин" составляющих его точек.
