Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Ну да, так и должно быть, конечно! Чем больше будет число членов, тем и сумма будет больше. Ясно!"
А Мишка посмеивался и все толстел. Дама тоже все тянулась вверх. Мишка уже стал ростом с кошку, а дама выросла примерно вдвое. Самое странное при этом было то, что она не толстела, а только тянулась вверх и становилась все более тощей. Мишка вырос до размеров целого теленка, так что оставалось только удивляться, как он умещается на цилиндре, уцепившись за него задней лапой. Длинная дама уже даже начала как-то странно покачиваться, точно малейший ветерок мог ее свалить. А Мишка стал как настоящий Топтыгин.
Вдруг дама взвизгнула, ее головка дернулась вниз и вбок, вся она свернулась восьмеркой и упала на бок. А громадная задняя лапа Мишки тоже как-то завинтилась, вроде лежащей на боку восьмерки.
Илюша посмотрел на это и обернулся к Радиксу за помощью.
- 198 -
- Эта упавшая на бок восьмерка, - пояснил тот, - есть знак бесконечности. Если число членов растет безгранично, то и сумма прогрессии растет так же безгранично. В таком случае говорят, что и число членов и сумма прогрессии являются бесконечно большими величинами.
Илюша глянул искоса на Радикса и спросил:
- Так это, значит, и будет бесконечность?
- Н-да... - отозвался Радикс таким недовольным голосом, будто из него кто-то силком вытянул это "н-да"...
Он, видимо, был сильно не в духе.
- Послушан, - сказал Илюша как только умел любезно, - мне ужасно неприятно, что ты так на меня сердишься, но я, честное слово, не хотел тебя сердить. Честное слово! И я буду очень стараться. Только уж ты, пожалуйста, расскажи.
Значит, эта штука будет гораздо больше даже того поразительного архимедова числа, в котором восемьдесят квадриллионов нулей? Что же это за число такое?
Выслушав это, Радикс Нахмурился еще пуще. Видно было, что бедный Илюша, сам того не желая, задел беднягу за живое.
- Начнем с того, - заявил Радикс, - что это вовсе не число! Древний грек, замечательный философ древности Аристотель, который жил в четвертом веке до нашей эры, так говорил о бесконечности. "Она, - говорил Аристотель, - существует только в возможности". Он говорил еще, что это не такая величина, дальше которой ничего нет, а такая, дальше которой всегда есть еще что-то. Как это понимать? А вот как.
Когда мы говорим, что какая-нибудь величина является бесконечно большой, то, значит, мы говорим о величине, во-первых, переменной, а во-вторых, неограниченно возрастающей, вот как наш плюшевый Мишка или Сумма в то время, когда они растут и растут. Какие бы ты ни ставил вехи на пути такой переменной величины, она вce равно уйдет дальше их. Если ты перенесешь эти вехи затем еще дальше, она и за те уйдет, и так всегда будет, как бы ты далеко ни забирался.
Илюша посмотрел на формулу:
- Значит, когда ты говоришь, что наша сумма бесконечно большая, то нельзя понимать, что она стала "бесконечностью", а это только значит что она становится все больше и больше?
- Да. И это потому, что Мишка наш растет.
Попробуй-ка назначь какую-нибудь границу для суммы, назови какое-нибудь число, самое большое, какое тебе придет в голову.
- 199 -
- Ну, например, децильон. Это, помнится, десять в тридцать третьей степени, - подсчитал Илюша.
- Это очень просто, - ответил Мишка. - Ты требуешь, чтобы сумма
S = 3 • (2n - 1) / (2 - 1) = 3 • (2n - 1)
стала больше 1033. Но 210 больше, чем 103, значит, 2110 уж наверно больше, чем 1033, а у нас там еще множитель "три" в запасе. Но на самом деле не успею я и до ста дорасти, как сумма станет больше твоего числа.
- Верно! А если взять децильон децпльонов (это уже больше девятого архимедова числа), тогда что ты будешь делать?
- Тогда мне придется еще подрасти, - отвечал Мишка. - Вот когда я еще вдвое вырасту, до двухсот, сумма станет больше твоего числа 1066. Можешь проверить, коли не лень.
- И так будет, - сказал Радикс, - всегда, какое бы ты число ни назначил. У нас это для краткости выражают так: когда число членов прогрессии со знаменателем, большим единицы или даже равным единице, неограниченно возрастает, сумма стремится к пределу, равному бесконечности.
- Вот тут уж я не понимаю, - ответил Илюша. - Как это - стремится к пределу, когда она как раз возрастает беспредельно? И что это значит - равному бесконечности? Как может быть что-нибудь равно бесконечности?
- Ты совершенно прав, сказал Радикс - Гораздо было бы лучше говорить, что ни к какому пределу она не стремится, ни к чему не приближается, а, наоборот, от всего удаляется... Но, видишь ли, бывают очень важные случаи, когда при таком же поведении Мишки переменные величины взаправду приближаются к каким-то числам, то есть к своим пределам.
- 200 -
Вспомни синьориту Одну Энную: при неограниченном возрастании "эн" она принимала все меньшие и меньшие значения; и про нее мы имеем право сказать, что она приближалась или стремилась к нулю, как к своему пределу.
Поэтому у нас и для бесконечно больших величин, возрастающих неограниченно, употребляют условно такой же способ выражения и говорят, что они "стремятся к бесконечности".
- Да... - задумчиво протянул Илюша. - Я понимаю, что синьорита Одна Энная не может стать равной нулю, а только стремится к нулю. Но ведь можно взять другой пример и выбрать именно такую величину, которая становится действительно равной нулю. Ну вот, скажем, беру я две прямые и буду одну поворачивать так, чтобы угол между прямыми уменьшался. Значит, когда я достигну того, что прямые мои станут параллельно, угол между ними будет просто равен нулю? Так я говорю или нет?
- Так, - ответил Радикс. - Но что же ты хочешь этим сказать?
- Не может ли и с бесконечностью так получиться, что какая-нибудь величина станет действительно равной бесконечности, а не только, как ты говоришь, будет стремиться к ней.
Вот, например, с этими прямыми. Я возьму какой-нибудь отрезок и к нему в одном конце перпендикуляр, а в другом - наклонную. Они пересекутся, скажем, на расстоянии х от основания перпендикуляра. Если поворачивать наклонную, чтобы сделать ее параллельной перпендикуляру, то х будет ведь стремиться к бесконечности в том самом смысле, как ты это говоришь, но когда отрезки станут параллельными, то ведь х и будет равным бесконечности...
Не успел Радикс ответить мальчику на это, как позади них раздалось такое сердитое пофыркивание, что Илюша невольно обернулся. Он увидел, что неподалеку от них стоит все тот же несносный Доктор Замысловатых Узлов и язвительным шепотом говорит следующее:
- О величайшая и пресветлая Лилавати, богиня волшебного мира! Кровь сохнет в жилах моих и уши увядают, когда я слышу эту беспросветную чепуху, что льется из уст этого непросвещенного отрока!
Засим грозный доктор Уникурсальян обратился к Илюшей возопил:
- Отвечай мне: во-первых, что же это будет за х? Стоит только достигнуть параллельности, и наклонная перестанет быть наклонной. И останутся два перпендикуляра, которые, как, может быть, и тебе известно, ни в какой точке пересекаться не умеют. А ведь, по-твоему, х, как это донеслось до слуха моего, есть именно расстояние от основания перпендикуляра до точки, которой нет?
- 201 -
- Ну хорошо, я скажу иначе, - возразил Илюша. - Просто возьму перпендикуляр и буду двигать по нему точку, начиная от какой-то начальной - той, которая была основанием перпендикуляра, - все дальше и дальше так, чтобы расстояние х от начальной точки стремилось к бесконечности. Так вот, когда я вместо отрезка перпендикуляра до удаляющейся точки возьму всю эту часть перпендикуляра, то есть весь луч, идущий в одном направлении от начальной точки, то тогда можно уж сказать, что этот луч имеет длину, равную бесконечности, то есть что расстояние х уже стало действительно бесконечностью.
- Сказать можно все, что угодно, - сердито отвечал командор, - а какой в этом будет смысл? Что вы разумеете под словом "длина", юноша? Если я вас правильно понял, то вы имели в виду длину отрезка, а ведь это не что иное, как число, которое можно получить, если этот отрезок измерять, откладывая на нем единицу длины. Но перед вами не отрезок, а луч, и откладывать на нем единицу можно сколько угодно раз, но от вашей цели вы при этом будете все так же далеки, как в самом начале, хотя бы вы и отложили единицу децильон децильонов раз. Ибо попробуйте, сделав это, удалиться на столь же почтенное расстояние от вашей работы и посмотреть издали: вам покажется, что вы еще с места не сдвинулись. Конечно, можно сказать, выражаясь, однако, совершенно условно, что "длина луча равна бесконечности", по и это опять будет иметь только тот смысл, что сколько бы раз ни откладывал ты единицу меры вдоль луча, этому не будет конца, то есть какое бы число ни назначить, единицу можно отложить еще большее число раз.
- А почему же, - спросил Илюша, - нельзя просто сказать, что единица отложится "бесконечное число раз"? Ведь мы говорим же, что число всех чисел бесконечно или что на отрезке умещается бесконечное число точек...
