Генри Дьюдени - Кентерберийские головоломки
38. Головоломка состояла в том, чтобы, начиная от верхнего А и двигаясь вниз от одной соседней буквы к другой, подсчитать, сколькими различными способами можно прочитать слово ABRACADABRA.
– Теперь обратите внимание, добрые друзья мои, – сказал сэр Хьюг, обращаясь ко всем, кто находился рядом, – что вначале есть два пути: вы можете выбрать любое В, затем любое R и так далее до самого конца. До каждой из букв можно добраться, двигаясь от верхнего А, соответственно 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. способами. Следовательно, поскольку нужно сделать 10 шагов, спускаясь от верхнего А до нижней строки, нам остается только умножить 2 на себя 10 раз. В результате мы и получим искомое число, равное 1024.
39. Хотя сэр Хьюг и заявил, что нет нужды измерять шест, все же совершенно необходимо было определить его высоту. Друзьям и домочадцам сэра Хьюга де Фортибуса было хорошо известно, что он имел шесть футов росту. На исходном рисунке можно заметить, что рост сэра Хьюга в два раза больше длины его тени. Следовательно, высота флагштока в том же месте и в то же время дня тоже должна вдвое превышать длину его тени. Длина тени флагштока равна росту сэра Хьюга, следовательно, она составляет 6 футов, а высота флагштока – 12 футов. Далее, улитка, поднимаясь на 3 фута днем и опускаясь на 2 фута ночью, поднимается в действительности за сутки на 1 фут. В конце девятых суток она окажется в трех футах от вершины и, значит, закончит свое путешествие на десятый день.
Читатель, безусловно, воскликнет здесь:
– Все это очень хорошо, но как мы могли узнать рост сэра Хьюга? О нем ничего не говорилось!
Действительно, прямо на это не указывалось, но для людей искушенных не составит труда его определить. На рисунке к задаче 36 сэр Хьюг изображен у квадратного окна, про которое сказано, что его сторона равна 1 футу. Следовательно, отложив эту длину (нужное число раз), можно было убедиться, что рост сэра Хьюга в 6 раз превышает высоту окна, то есть равен 6 футам!
40. Последняя головоломка была, без сомнения, крепким орешком, но, надо думать, трудности не делают хорошую головоломку менее интересной, когда нам покажут ее решение. На приведенном здесь рисунке показано, как была выложена крышка у шкатулки леди Изабеллы де Фитцарнульф. Это единственное возможное решение, и удивительно (хотя я и не могу привести здесь довольно тонкий метод решения), что число, размеры и порядок расположения квадратов определяются размерами золотой полоски и что крышка шкатулки не может иметь других размеров, отличных от 20 квадратных дюймов. Число, указанное в каждом квадрате, равно длине его стороны, выраженной в дюймах, так что ответ можно проверить почти с одного взгляда.
Сэр Хьюг сделал несколько общих замечаний, которые не совсем безынтересны и сегодня.
– Друзья и домочадцы, – сказал он, – если те странные порождения моего бедного ума, о которых мы так приятно поговорили сегодня вечером, и оказались, быть может, малоинтересными для вас, пусть они послужат напоминанием разуму о том, что наша быстротекущая жизнь окружена и наполнена загадками.
Решения загадок ридлуэлских монахов
41. Перенумеруйте корзинки, показанные на исходном рисунке, от 1 до 12 в направлении, в котором, как мы видим, двигается брат Джонатан. Начиная от 1, действуйте, как указано ниже, причем «1 в 4» означает, что надо взять рыбку из корзинки 1 и переложить ее в корзинку 4.
1 в 4, 5 в 8, 9 в 12, 3 в 6, 7 в 10, 11 в 2 и кончайте последний обход, перейдя к 1; при этом вы совершите всего три обхода. Можно действовать и по другому: 4 в 7, 8 в 11, 12 в 3, 2 в 5, 6 в 9, 10 в 1. Легко решить задачу за четыре обхода, но решения с тремя обходами найти труднее.
42. Если бы аббат не требовал, чтобы в каждой келье жило не более трех человек и чтобы каждая келья была занята, то можно было бы оказать гостеприимство 24, 27, 30, 33, 39 или 42 паломникам. Но если принять 24 паломника так, чтобы на втором этаже было вдвое больше человек, чем на первом, и чтобы на каждой стороне было по 11 человек, то некоторые кельи пришлось бы оставить пустыми. Если, с другой, стороны, мы попробуем разместить 33, 36, 39 и 42 паломника, то нам придется в некоторых кельях разместить более трех человек.
Таким образом, предполагавшееся число паломников равнялось 27, а поскольку их прибыло на 3 человека больше, то истинное число паломников составило 30. На приведенном здесь рисунке показано, как их можно разместить в каждом случае; при этом видно, что все условия выполнены.
43. Правильное решение показано на приведенном здесь рисунке. Никакой изразец не находится на одной прямой (вертикальной, горизонтальной или диагональной) с другим изразцом того же рисунка, причем использовано только три простых изразца. Если, расположив львов, вы ошибочно используете четыре изразца какого-либо другого рисунка вместо трех, то у вас окажется четыре места, куда придется поместить простые изразцы.
Трюк заключается в том, чтобы взять четыре изразца одного рисунка и только по три изразца каждого другого рисунка.
44. Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине – 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине – 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.
45. В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, деленный на 100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числе на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.
С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило
26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999
пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.
46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776×776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73×73) человек в каждом. Другими словами, 113×(73)2-1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.
47. Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239×4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).
В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n – 1)/9.
Люка в свой книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику й астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до п = 18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при п = 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.
